2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期6月学业质量阳光指标调研数学理试题（Word版）

2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期6月学业质量阳光指标调研数学理试题（Word版）

‎2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期学业质量阳光指标调研数学理试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.‎ ‎1.已知复数（为虚数单位），则 ．‎ ‎2.双曲线的离心率为 ．‎ ‎3.函数的极值点为，则 ．‎ ‎4.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）‎ ‎5.现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有 种．（用数字作答）‎ ‎6.抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是 ．‎ ‎7.若离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则的数学期望 ．‎ ‎8.若（为正整数且），则 ．‎ ‎9.已知，则的值是 ．‎ ‎10.已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是 ．‎ ‎11.如图，在体积为的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为，则 ．‎ ‎12.若函数在其定义域上单调递减，则称函数是“函数”.已知是“函数”，则实数的取值范围是 ．‎ ‎13.过曲线上的点向圆：作两条切线，，切点为，，且，若这样的点有且只有两个，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知，函数，，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.如图，在三棱锥中，是正三角形，，分别为，的中点，.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎16.某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元.‎ ‎（1）求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望；‎ ‎（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.‎ ‎17.已知，.‎ ‎（1）当时，求展开式中的常数项；‎ ‎（2）若二项式的展开式中含有的项，当取最小值时，展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数的值.‎ ‎18.如图，在正三棱柱中，底面的边长为2，侧棱长为4，是线段上一点，是线段的中点，为的中点.以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎（1）若，求直线和平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）若二面角的正弦值为，求的长.‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）求证：四边形的面积为定值.‎ ‎20.已知函数，为的导函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若方程有三个互不相同的根0，，，其中.‎ ‎①是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎②若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷 高二数学（理科附加）‎ A组（选修4-2：矩阵与变换）‎ A1‎ 若圆：在矩阵对应的变换下变成椭圆：.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵.‎ A2‎ 已知，为矩阵的两个特征向量.‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）若，求.‎ B组（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ B1‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆相切，求实数的值.‎ B2‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（其中为参数，）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，依逆时针次序排列，点的极角为.‎ ‎（1）求点，，的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求点到直线距离的取值范围.‎ 苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷 高二数学（理科）参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 2 3. 4. 必要不充分 5. 24 6. ‎ ‎7. 8. 6 9. 100 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. 3‎ 二、解答题 ‎15.证：（1）因为，分别为，的中点，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连结，因为，又，所以.‎ 又，为的中点，所以，‎ 又，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎16.解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100，200，300.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（或）‎ 所以奖金数的概率分布为 ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ 奖金数的数学期望（元）.‎ ‎（2）设3个人中获二等奖的人数为，则，‎ 所以，‎ 设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件，‎ 则.‎ 答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.‎ ‎17.解：二项式的展开式通项为 ‎，‎ ‎（1）当，时，的展开式的常数项为.‎ ‎（2）令，则，所以的最小值为6，‎ 当时，二项式的展开式通项为 ‎，‎ 则展开式中含的正整数次幂的项为，，，它们的系数之和为 ‎，‎ 即，解得或.‎ ‎18.解：根据题意得，，，‎ 所以，，‎ ‎（1）当是线段的中点时，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，得，‎ 即，取，得，‎ 设和平面所成角为，‎ 则，‎ 所以和平面所成角的正弦值为.‎ ‎（2）设，则，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，得，‎ 即，取，得，‎ 显然是平面的一个法向量，‎ 设二面角的大小为，则，‎ 所以，‎ 解得或3，所以的长为1或3.‎ ‎19.解：（1）设右焦点，因为椭圆的离心率为，所以，①‎ 又因为右焦点到右准线的距离为，所以，②‎ 由①②得，，，，‎ 所以椭圆的标准方程是.‎ ‎（2）因为，所以，直线的方程为，‎ 由，得，解得（舍）或，‎ 可得，‎ 直线的方程为，令，得，‎ 所以.‎ ‎（3）设，则，即.‎ 直线的方程为，令，得.‎ 直线的方程为，令，得.‎ 所以四边形的面积 为定值.‎ ‎20.解：（1）当时，，‎ 令，得或，‎ 所以的单调增区间为和；‎ 令，得，‎ 所以的单调减区间为.‎ ‎（2）①由题意知，是方程的两个实根，‎ 所以，得.‎ 且，，，‎ 由成立得，，‎ 化简得，‎ 代入得，即，‎ 解得，因为，所以这样的实数不存在.‎ ‎②因为对任意的，恒成立.‎ 由，，且，‎ ‎1.当时，有，所以对，，‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ ‎2.当时，有，‎ ‎，其判别式.‎ 由，得或，‎ 此时存在极大值点，且.‎ 由题得，‎ 将代入化简得，解得.‎ 因此.‎ 综上，的取值范围是.‎ 理科附加题 A1‎ 解：设点为圆：上任意一点，经过矩阵变换后对应点为，‎ 则，所以，代入椭圆方程得，‎ 又圆方程为，故，即，‎ 又，，所以，.‎ ‎（2）设，则，‎ 即，所以，解得，所以.‎ A2‎ 解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由，得，即，‎ 可解得，，，，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ B1‎ 解:（1）直线的直角坐标系方程是，‎ 圆的直角坐标方程是.‎ ‎（2）由（1）知圆心为，半径，‎ 设圆心到直线的距离为，因为直线与圆相切，‎ 所以，解得.‎ B2‎ 解：（1）由，可得点的直角坐标，‎ 由已知，点的极坐标为，可得点的直角坐标为，‎ 点的极坐标为，可得点的直角坐标为.‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 设点，则点到直线的距离 ‎（其中，），‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎