四川省遂宁市蓬南中学2018-2019学年高二下学期第二次质量检测数学（理）试卷

四川省遂宁市蓬南中学2018-2019学年高二下学期第二次质量检测数学（理）试卷

蓬溪县高2020级第四期第二次质量检测数学理科试题 命题人：舒玉兴 审题人：梁学丰 ‎ 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。第一部分1至2页，第二部分2至4页，共150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：请把答案做在答题卡上。‎ ‎ 第一部分 （选择题 共60分）‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 已知 = x26x +5 则函数在点（3，f（3））处切线的倾斜角为（▲）‎ A．0 B． C． D．不存在 ‎2．设P是椭圆上一点，是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于（▲）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎3. 设，若＝3，则（▲）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 若空间向量 =（1，2，0）， =（﹣4，0，2），且两向量夹角为θ，则下列结论正确的是（ ▲ ）‎ A．cosθ =120° B． ⊥ C． ∥ D．| |= | |‎ ‎5. 函数的单调递增区间为（▲）‎ A． B. C. D．‎ ‎6. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（▲）‎ A．45° B．60° C．90° D．30°‎ ‎7. 若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导数的图象是经过第二、三、四象限的一条直线，则y＝f(x)的图象顶点在（▲）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8. 非直角三角形ABC的三内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，则”a＜b”是”tanA＜tanB”的（▲）‎ A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 ‎9. 设椭圆和双曲线的公共焦点为， 是两曲线的一个公共点，则 的值等于（▲）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（▲）‎ 10. A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎11. 设P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为曲线上不同的两点，F（1，0），x2=4x1+3，则 =（▲）‎ A．2 B．3 C． D． 4‎ ‎12. 已知函数是定义在R上的增函数, ,,则不等式的解集为（▲）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 A C B ‎13. 定积分___________.‎ ‎14. 如图：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，AC＝3，一曲线 E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA| -|PB|的值保持不变,若 以AB所在直线为x坐标轴，且AB方向为正方向，AB的中垂线为 y坐标轴,则曲线E的轨迹方程为___________.‎ ‎15. 已知函数有两个零点，则的取值范围是 .‎ ‎16.关于函数，下列说法正确的是 .‎ ‎①是的最大值点 ② 函数有且只有1个零点 ‎ ③ 存在正实数，使得恒成立 ‎ ④ 对任意两个不相等的正实数，若，则 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ ‎(1) 求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程. ‎ ‎ (2) 求函数f(x)的单调区间．‎ ‎18. (本小题满分12分)如图，已知抛物线焦点为，‎ 直线经过点且与抛物线相交于，两点 ‎ ‎（1）若线段，求线段的中点到y轴的距离.‎ ‎（2）若线段的中点在直线上，求直线的方程；‎ ‎19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x ‎≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益均为零．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．‎ ‎20. (本小题满分12分) 在四棱锥P－ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，△PAC 是边长为2的等边三角形，PB＝，E为PA的中点.‎ ‎(1) 求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎(2) 求二面角C－PA－D的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数（a∈R）． （1）若f（x）存在单调递增区间，请求出a的取值范围． （2）当a=3，x∈[0，1]时，求证：f（x）≤ -1； ‎ ‎22. (本小题满分12分)已知椭圆:的上顶点为，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是曲线上的动点，关于轴的对称点为，点，直线与曲线的另一个交点为(与不重合)；‎ ‎ ① 试讨论直线B 是否过定点，若过定点求出定点坐标；‎ ‎ ② 过P作直线PH⊥B，垂足为H,试求H的轨迹方程 。‎ 蓬溪县高2020级第四期第二次质量检测数学理科试题答案 一、选择题 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ 答案 ‎ A.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎ D.‎ C. ‎ ‎ B. ‎ ‎ B.‎ ‎ A.‎ ‎ A.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎ ‎ A. ‎ 二． 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上 ‎ 13. e－1 14. － ＝1 （x＜0） 15. －＜c＜0 16. ②④‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 17. ‎(1)解：由f′(x)＝－ex＋ex＝ex，则f′(1)＝0‎ 又f(1)＝e 故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e……………………………………5分 ‎(2)解：由f′(x)＝－ex＋ex＝ex，‎ 由f′(x)＝0，得x＝1. …………………………………………7分 因为当x＜0时，f′(x)＜0；‎ 当0＜x＜1时，f′(x)＜0；‎ 当x＞1时，f′(x)＞0.‎ 故f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)；‎ 单调递减区间是(－∞，0)和(0，1]．…………………………………………10分 ‎18解：（1）线段的中点到y轴的距离等于9.……………………5分 ‎（2）设， ‎ 设直线的方程为，…………………………………………………6分 与抛物线方程联立得，消元得， ‎ 所以有，，…………………………9分 由题意得；…………………11分 故直线的方程是：…………………………12分 ‎19. 解：(1)由投资额为零时收益为零，‎ 可知f(0)＝－a＋2＝0， 解得a＝2，…………………………………………2分 ‎ g(0)＝6ln b＝0， 解得b＝1. …………………………………………5分 ‎ (2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．‎ 设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，‎ 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，‎ 设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)‎ ‎＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．…………………………………………8分 S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.‎ 当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；‎ 当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．………………………………10分 所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6万元．‎ 所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为6ln 3＋6万元．…………………………………………12分 ‎20. (1)证明：△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC＝BC，‎ ‎∴BC∥AD，AB＝BC＝，‎ ‎∵E为PA的中点，且AB＝PB＝，∴BE⊥PA，……………………………………2分 在△PBC中，PC2＝PB2＋BC2，∴BC⊥PB.‎ 又∵BC⊥AB，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.‎ ‎∵BC⊂平面PAB，∴BE⊥BC，‎ 又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，‎ 又∵PA∩AD＝A，∴BE⊥平面PAD. …………………………………………6分 ‎(2) 由(1)可知BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，，0)，B(0,0,0)，C(，0,0)，P(0,0，)，‎ 则＝(，－，0)，＝(0，－，)．‎ 设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即故取m＝(1,1,1) ……………………………9分 又由(1)知BE⊥平面PAD，故＝(0，，)为平面PAD的一个法向量，‎ 由cos〈m，〉＝＝，‎ 故二面角C－PA－D的余弦值.…………………………………………12分 ‎　‎ ‎21.解：(1) 由f′（x）=ax-ex≥0， ‎ 当x＞0时，解得a≥， 令g（x）=，g′（x）=，可得x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，‎ ‎∴a≥g（1）=e．…………………………………………3分 当x＜0时，解得a≤，同理可得a＜0． 综上可得：a∈（-∞，0）∪[e，+∞）．…………………………………………6分 ‎(2) 当a=3时，，则 f'（x）=3x-ex． 令g（x）=f'（x）， 则g'（x）=3-ex． 当x∈[0，1]，有ex ∈[1，e]．因此g'（x）=3-ex＞0恒成立． 故当x∈[0，1]时，g（x）=f'（x）单调递增． 又由f'（0）= -1＜0， f'（1）=3-e＞0， 则存在唯一的x0∈（0，1），使得f'（x0）=0．…………………………………………9分 ‎ 列表如下：‎ x ‎0‎ ‎（0，x0）‎ x0‎ ‎（x0，1）‎ ‎1‎ f'（x）‎ ‎-1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎3-e f（x）‎ ‎-1‎ 单调递减 极小值 单调递增 当x∈[0，1]时，．…………11分 ‎ 故由；则当a=3，x∈[0，1]时，f（x）≤ -1．……………………………12分 ‎ 22.解（1），， ，‎ 故椭圆方程为………………………4分 ‎（2） ①设直线方程为：，设,则 由消去得，‎ 则 ，……………………………………5分 ‎∴ ，,‎ 的中点坐标为，直线的斜率 所以直线方程为：,‎ 即,………………………………………7分 若过定点，据椭圆的对称性，则定点应该在x坐标轴上 故令，得,‎ Þ=;‎ 将，，代入上式整理得 ‎==‎ 即直线与轴的交点为定点 ………………………………………9分 ‎② 又由，取又由①,M为定点; 故H 的轨迹是以PM为直径的圆的一部份，故方程为 ‎＋ ＝ （-＜x＜-1）． ………………………………………12分 ‎（若没有给范围，可扣1分）‎