2017-2018学年山西省芮城中学高二上学期第一次月考理科数学试题

2017-2018学年山西省芮城中学高二上学期第一次月考理科数学试题

芮城中学2017-2018学年高二年级阶段性考试 数学试题（理科）‎ ‎（满分：150分；时间：120分钟；命题人:张占宾） 2017.9‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1、 有如下命题：‎ ‎①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱。‎ ‎②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥。‎ ‎③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体是棱台。‎ ‎④圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线。‎ ‎⑤圆台的任意两条母线所在直线必相交。‎ 其中正确的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所形成的几何体包括 A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆锥 D.一个圆柱、两个圆锥 3、 点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC，‎ 则点O是ΔABC的 ‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 ‎4、下列四个命题中错误的个数是（）‎ ‎①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；‎ ‎③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5、已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则 A.以上四个图形都是正确的 B.只有(2)(4)是正确的 C.只有(4)是错误的 D.只有(1)(2)是正确的 ‎6、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 A. B. C. D.‎ ‎7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. B. C. D.‎ ‎7题图 8题图 ‎ ‎8、如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是 A.点到平面的距离 B.直线与平面所成的角 C.三棱锥的体积 D.的面积 ‎9、设是两条直线，是三个平面，下列推导错误的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10、已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为(　　)‎ A.　　　B.　　　C．0　　　D．－ ‎11、三棱锥A—BCD中，AC底面BCD, BDDC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30º，则点C到 平面ABD的距离是 A. B. C. D.‎ ‎12、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为 A. 3 B.1 C.2 D.4‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13、已知直线平面，直线平面，，‎ 直线与直线___________‎ ‎14、如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是______‎ ‎15、如图，已知正三棱锥P—ABC，侧棱PA，PB，PC的长为2，‎ 且∠APB=30º,E，F分别是侧棱PC，PA上的动点，‎ 则△BEF的周长的最小值为______________‎ ‎16、已知m 、l是直线，、是平面，给出下列命题：‎ ①若l垂直于内两条相交直线，则。②若l平行于，则l平行于内所有直线。‎ ③若，且，则。④若，且，则。‎ ⑤若，，且，则。其中正确的命题的序号是___________‎ 三、解答题 ‎17、（本题满分10分）‎ 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB中点，‎ F为正方形BCC1B1的中心.‎ ‎（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；‎ ‎（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 如图，△中，，，，‎ 在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分 别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋 转一周得到一个旋转体．‎ ‎（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； （2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，E、F分别 是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC；‎ ‎ (2)求证：平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎ A B C ‎ D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 20、 ‎（本题满分12分）‎ 如图，ABCD—A1BlClDl是正四棱柱 ‎(1)求证：BD⊥平面ACC1 Al； ‎ ‎(2)若二面角C1—BD—C的大小为60º，求异面直线BCl 与AC所成角的余弦值.‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，‎ BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．‎ ‎（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；‎ ‎（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；‎ ‎（3）求点D到平面D1AC的距离．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，‎ PC=AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）求二面角P—AC—E的余弦值；‎ ‎（3）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1---5 ADBBC 6--10 AABDC 11、B 12、C 二、 填空题 13、 平行 14、 15、 16、①④‎ 三、 解答题 ‎17、解：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．‎ ‎∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．‎ ‎∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．‎ ‎∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．‎ ‎∴tan∠FEH===．……5分 ‎（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．‎ ‎∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．‎ ‎∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．‎ ‎∵A1A=2，AO=A1O=．‎ ‎∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．‎ ‎∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．……10分 ‎18、解：（1）连接，则， 设，则，在中，， 所以        （4分） 所以．      （6分） （2）中，，,， ，          （8分） ．（12分） 19、（1）由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．‎ 因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．‎ ‎（2）由三棱柱为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，‎ 又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，‎ 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎20、‎ ‎21、（1）证明：，‎ 四边形为平行四边形，，又面，‎ 面，面，在直四棱柱中， , ‎ 又面，面，面，‎ 又面，面//面，‎ 又面，面.‎ ‎（2）证明：连接，，平行四边形是菱 形，，易知，，‎ 在直四棱柱中，面，面，，‎ 又，面.又面，面面..‎ ‎（3）易知，设到面的距离为，‎ 则，由（2）可知，，又，，又易得，‎ ‎，即到面的距离为.‎ ‎22、（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC 即为二面角P—AC—E的平面角.‎ ‎∴在 , ∴E为中点,可得 ‎…………8分 ‎（Ⅲ）作,F为垂足 由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，又∵平面EAC平面PBC=CE， ‎ ‎∴，连接AF，则就是直线PA与平面EAC所成的角。‎ 由（Ⅱ）知，由等面积法可知，‎ 在得 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。…………12分