数学理卷·2019届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高二下学期第一次联考（4月）（2018-04）

数学理卷·2019届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高二下学期第一次联考（4月）（2018-04）

‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第二学期第一次月考 高二数学（理科）试卷 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.已知复数满足，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎3.已知，，若，则（ ）‎ A. B. C. , D.,‎ ‎4.已知函数，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设复数在复平面内对应的点为,则点关于虚轴对称的点为（ ）‎ A． B． C． D.‎ ‎6.已知，‎ 则（ ）‎ ‎ A、70 B、68 C、69 D、71‎ ‎7.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎8.在长方体中，已知,,则异面直线与所成角的余弦值（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．,则实数等于( )‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎10.在直棱柱中，底面是等腰三角形，,侧棱,分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎12．已知函数，若，则正数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置)‎ ‎13. ．‎ ‎14.已知（为虚数单位，），则 ． ‎ ‎15.某节晚自习课堂上，小明向值班老师报告说：有同学在玩手机游戏，四名可疑同学被请到数学组办公室，四人陈述如下： ‎ 甲：我们四人都没有玩； 乙：我们四人中有人玩； 丙：乙和丁至少有一人没玩； 丁：我没有玩. 若四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话，则说真话的是 ．‎ ‎16.在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则= ．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17.(本题满分10分)设为坐标原点，已知复数分别对应向量，为复数的共轭复数，，其中，且为纯虚数．‎ ‎（Ⅰ）判断复数在复平面上对应的点在第几象限；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎18. (本题满分12分) 已知函数在处取得极值.‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求函数在处的切线方程.‎ ‎19. (本题满分12分)如图，在中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．(本题满分12分) “世界陶瓷之都”德化县，最有名的就是陶瓷了，然而德化特产也是丰富多彩的。德化人用它们天然的色彩进行归类，变得像口诀一样好记，三黑“黑鸡、黑兔、黑羊”，三黄“德化梨、黄花菜、山茶油”，三白“大米、淮山、白萝卜”，三红“红米、红菇、红酒”。为了提高经济效益，某食品厂进行淮山的深加工，每公斤淮山的成本20元，并且每公斤淮山的加工费为元（为常数，且 ‎，设该食品厂每公斤淮山的出厂价为元（），销售量，且（为自然对数的底）。根据市场调查，当每公斤淮山的出厂价为30元时，日销售量为100公斤。‎ ‎（Ⅰ）求该工厂的每日利润元与每公斤淮山的出厂价元的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）若，当每公斤淮山的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值．‎ ‎ 21. (本题满分12分)观察下列不等式： ，…，‎ ‎（Ⅰ）请写出第五个不等式，你能归纳推理出第n个不等式的一般形式吗？ （Ⅱ）用数学归纳法证明你的推论.‎ ‎22. (本题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，设函数有唯一零点，求的值.‎ ‎‎ ‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第二学期第一次月考 高二数学（理科）试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D D A D B A B B C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 0 14. -1 15. 乙和丙 16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎17.(本题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，‎ 则.........................2分 因为为纯虚数，‎ 所以， ..............................3分 解得或...............................4分 又因为，所以，.......................5分 所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 所以...........................8分 ‎..........................10分 ‎18. (本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由已知得 …………………………………1分 因为函数在处取得极值 所以，即 …………………………………4分 解得 …………………………………6分 经检验，当时，函数在处取得极值 ……………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………8分 ‎ 切线斜率 …………………………………9分 又切点为 切线方程为，即 …………………………………12分 ‎19.(本题满分12分)‎ 证明：（Ⅰ）‎ ‎,翻折后垂直关系没变，仍有,‎ ‎ …………4分 ‎（Ⅱ） ,二面角的平面角，…………5分 ‎，又,由余弦定理得,‎ ‎,,两两垂直……………………6分 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系。‎ 则 ‎ ……8分 设平面的法向量 由可得…………10分 ‎ ‎ 故与平面所成的角的正弦值为 …………12分 ‎20. (本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）设由已知得 …………………………………2分 ‎ 日销量 …………………………………………………………………3分 ‎ ． …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）当时， ……………………………………………7分 ‎ …………………………………………………………………8分 ‎ ，‎ ‎ ………………………10分 ‎ ………………………………………………………11分 ‎ 当每公斤淮山的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为元． ……12分 ‎21.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ） ……1分 根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：‎ ‎ ……4分 ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当，猜想成立 …………5分 ‎（2）假设当时，猜想成立，即， …………6分 则当时，‎ ‎，‎ 即当时，猜想也正确， …………11分 由（1），（2）知对任意的，不等式都成立． ……12分 ‎22．（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题可知函数为 ‎ …………………………………1分 ‎①当时，在上恒成立 此时函数在 上单调递增 …………………………………2分 ‎②当时，令，则或（舍去）‎ 当时，， 当时，‎ 此时函数在上单调递减，在上单调递增 …………………………4分 ‎（Ⅱ）由题可知， .‎ 令，即，‎ 因为，所以 (舍去)， . …………5分 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增， …………………………6分 所以的最小值为. …………………………………7分 因为函数有唯一零点，所以， …………………………………8分 由即 …………………………………9分 可得，因为，所以，‎ 设函数，因为当时该函数是增函数，‎ 所以至多有一解. …………………………………10分 因为当时，， …………………………………11分 所以方程的解为，即，解得. …………………………12分