2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练34+归纳与类比

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练34+归纳与类比

课时分层训练(三十四)　归纳与类比 ‎ (对应学生用书第243页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 C　[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]‎ ‎2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是(　　)‎ 图643‎ A．12 B．48‎ C．60 D．144‎ D　[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]‎ ‎3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　) ‎ ‎【导学号：00090214】‎ A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 B　[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]‎ ‎4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 图644‎ ‎ 他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为(　　)‎ A．45 B．55‎ C．65 D．66‎ B　[第1个图中，小石子有1个，‎ 第2个图中，小石子有3＝1＋2个，‎ 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，‎ 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，‎ ‎……‎ 故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55，故选B．]‎ ‎5．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　) 【导学号：00090215】‎ 图645‎ A． B． C．－1 D．＋1‎ A　[设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ 在“黄金双曲线”中，‎ 因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 所以b2＝aC．而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝aC．‎ 在等号两边同除以a2，得e＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数y＝x2的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞2成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．‎ ＜sin 　[函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A，B，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，类比可知应有＜sin .]‎ ‎7．观察下列不等式：‎ ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为__________．‎ ‎1＋＋＋＋＋<　[左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.]‎ ‎8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说 ‎“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．‎ 丙　[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]‎ 三、解答题 ‎9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论. 【导学号：00090216】‎ ‎[解]　由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：‎ ‎(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；‎ ‎(2)四面体的体积V＝×底面积×高；‎ ‎(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.‎ ‎10．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ ‎[解]　f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝， 2分 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，‎ f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，‎ 均有f(x1)＋f(x2)＝. 6分 证明：设x1＋x2＝1，‎ f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为(　　)‎ A．42 B．65‎ C．143 D．169‎ B　[可以通过列表归纳分析得到．‎ 凸多边形 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎…‎ 对角线条数 ‎2‎ ‎2＋3‎ ‎2＋3＋4‎ ‎2＋3＋4＋5‎ ‎2＋3＋4＋5＋6‎ ‎…‎ ‎∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65条对角线．故选B．]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]‎ ‎3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：00090217】‎ ‎[解]　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝. 5分 ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 7分 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝. 12分 法二：三角恒等式为 sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 7分 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 12分