数学卷·2018届江苏省泰州中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江苏省泰州中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，共70分）‎ ‎1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是　　．‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎3．若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于　　．‎ ‎4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是　　．‎ ‎5．抛物线x2=4y的焦点坐标为　　．‎ ‎6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是　　．‎ ‎7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的　　．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）‎ ‎8．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是　　．‎ ‎9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为　　．‎ ‎10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为　　．‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是　　．‎ ‎12．若函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为　　．‎ ‎14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共90分）‎ ‎15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：‎ ‎（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；‎ ‎（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．‎ ‎16．已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（1）当p为真命题时，求m的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．‎ ‎17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；‎ ‎（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．‎ ‎19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P为线段AB的中点，求k1；‎ ‎（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx．‎ ‎（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；‎ ‎（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，共70分）‎ ‎1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是　∀x∈R，cosx＜﹣1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题是特称命题，‎ 则命题的否定是全称命题，‎ 即∀x∈R，cosx＜﹣1，‎ 故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为=0，即．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎3．若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于　sinα　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，‎ 则f'（α）=sinα．‎ 故答案为：sinα．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是　5　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置，求值即可．‎ ‎【解答】解：由题意y′=6x2﹣6x﹣12‎ 令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1‎ 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）单调递减，在（2，3）上单调递增，‎ 因为f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5‎ 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值是5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线x2=4y的焦点坐标为　（0，1）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴‎ ‎∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）‎ 故答案为：（0，1）‎ ‎　‎ ‎6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是　k≥1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．‎ ‎【解答】解：设切点P（x0，y0），在此点的切线的斜率为k．‎ ‎∵，∴f′（x）=3x2+1，‎ ‎∴f′（x0）=3x02+1，（x0∈R）．‎ ‎∴斜率k=3x02+1≥1，‎ 故答案为：k≥1．‎ ‎　‎ ‎7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的　充分不必要条件　．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．‎ ‎【解答】解：若m=3，‎ 则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，‎ 椭圆的焦距是2，是充分条件，‎ 若椭圆的焦距是2，则c=1，‎ 故m﹣4=1或4﹣m=1，‎ 解得：m=5或m=3，不是必要条件，‎ 故答案为：充分不必要条件．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是　{a|a＜﹣1或a＞2}　．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），‎ 要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，‎ 所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．‎ 故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}‎ ‎　‎ ‎9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．‎ ‎【解答】解：设A点坐标为（x，y），‎ 根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，‎ ‎∴A点坐标为：（3，±2），‎ ‎∴A到坐标原点的距离为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为　　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），‎ 则y′=2x﹣=，‎ 令y′=0得，x=或x=舍去，‎ 所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，‎ 当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，‎ 所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为： =，‎ 则所求t的值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．‎ ‎【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交 ‎∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1‎ ‎∴3b2＜a2，‎ ‎∴c2=a2+b2＜a2，‎ ‎∴e=＜‎ ‎∵e＞1‎ ‎∴1＜e＜．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．若函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是　（﹣∞，2ln2﹣2）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据题意可得a＜2x﹣ex有解，转化为g（x）=2x﹣ex，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，‎ ‎∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，‎ 即a＜2x﹣ex有解，‎ 令g′（x）=2﹣ex，‎ g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，‎ g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，‎ g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2‎ ‎∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，‎ ‎∴a＜2ln2﹣2即可．‎ 故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）‎ ‎　‎ ‎13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的离心率e====，求得a=2b，椭圆方程为：，整理得： =﹣，则tanα=，tanβ=，tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，x=，则tanα=，即可求得直线PA的斜率．‎ ‎【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），‎ 椭圆的离心率e====，‎ 整理得：a=2b，‎ ‎∴椭圆方程为：，‎ ‎∴y2=，则=﹣，‎ 直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，‎ ‎∴kPA=tanα=，kPB=tanβ=，‎ ‎∴tanα•tanβ=•==﹣，‎ 直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，‎ ‎∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，‎ 解得：x=，‎ ‎∴直线PA的斜率kPA=tanα=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，‎ 则点P、Q只能在y轴两侧．‎ 不妨设P（t，f（t））（t＞0），‎ 则Q（﹣t，t3+t2），‎ ‎∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，‎ ‎∴•=0，‎ 即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）‎ 若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；‎ 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．‎ 若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0‎ 即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，‎ 代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，‎ 即=（t+1）lnt（**）‎ 令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），‎ 则h′（x）=lnx+1+＞0，‎ ‎∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，‎ ‎∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，‎ ‎∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．‎ ‎∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ 二、解答题（共90分）‎ ‎15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：‎ ‎（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；‎ ‎（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），‎ ‎∵椭圆过M（3，﹣2），‎ ‎∴2a=+=2，‎ ‎∴a=，b=，‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）．‎ ‎∵椭圆经过两点和，‎ ‎∴，∴m=，n=，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎　‎ ‎16．已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（1）当p为真命题时，求m的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵‎ ‎∴，‎ 当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，‎ 当p为真命题时，，‎ 解得：0≤m≤2…‎ ‎（2）若q为真命题，则：‎ ‎5﹣m＞m﹣1＞0，‎ 解得：1＜m＜3…‎ 若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，‎ 故，或 解得：0≤m≤1或2＜m＜3…‎ ‎　‎ ‎17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；‎ ‎（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=3（x2﹣2），‎ 令f'（x）=0，得，‎ ‎∴当或时，f'（x）＞0；‎ 当时，f'（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是和，‎ 单调递减区间是；‎ 当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；‎ ‎（2）设切点为（m，n），‎ 则切线的斜率为3（m2﹣2），‎ 切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），‎ 代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），‎ 化为（m﹣1）2（2m+1）=0，‎ 解得m=1或m=﹣，‎ 则斜率为﹣3或﹣，‎ 可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；‎ ‎（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），求得圆心为O（，0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P点坐标；‎ ‎（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标，．，则．由此可导出k1•k2的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：离心率e==，‎ 准线方程x==，‎ 解得：a=3，c=2，‎ 由b2=a2﹣c2=5，‎ ‎∴求椭圆C的标准方程为；…‎ ‎（2）由∠FPA为直角，‎ ‎∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），‎ ‎∴圆心为O（，0），半径为，‎ ‎∴丨PO丨=，即=，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，‎ 解得：x=﹣或x=3（舍去），‎ ‎∴y=±=±，‎ ‎∴P点坐标为：…‎ ‎（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点，‎ ‎∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，…‎ ‎∵，‎ ‎∴，…‎ 又∵点P在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，…‎ ‎∵﹣2＜x1＜3，‎ ‎∴，‎ 故k1•k2的取值范围为…‎ ‎　‎ ‎19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P为线段AB的中点，求k1；‎ ‎（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；‎ ‎（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．‎ ‎【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）‎ ‎∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2‎ ‎∴所求椭圆方程为；‎ ‎（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎①，②‎ ‎②﹣①，可得k1==﹣=﹣；‎ ‎（3）证明：由题意，k1≠k2，‎ 设M（xM，yM），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，‎ 代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0‎ ‎∴，‎ 同理，，‎ 当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==‎ 直线MN的方程为y﹣=（x﹣）‎ 即 此时直线过定点（0，﹣）‎ 当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣）‎ 综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣）．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx．‎ ‎（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；‎ ‎（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．‎ ‎（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．‎ ‎（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，‎ ‎∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，‎ ‎∴．‎ 当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；‎ 当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．‎ ‎（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，‎ ‎∴在x＞0上恒成立，‎ 进一步转化为，‎ 设h（x）=，则，‎ 当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，‎ ‎∴h（x）．‎ 要使f（x）≤ax恒成立，必须a．‎ 另一方面，当x＞0时，x+，‎ 要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，‎ ‎∴满足条件的a的取值范围是[，2]．‎ ‎（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．‎ 令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1‎ 则＞0，‎ ‎∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴u（t）＞u（1）=0，‎ ‎∴＞．‎ ‎　‎