2020届二轮复习数形结合思想作业

2020届二轮复习数形结合思想作业

思想方法训练3　数形结合思想 ‎　思想方法训练第6页　 ‎ 一、能力突破训练 ‎1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z‎1+i对应的点位于复平面内的(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:由题图知,z=2+i,则z‎1+i‎=‎2+i‎1+i=‎2+i‎1+i·‎1-i‎1-i=‎3‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎i,所以复数z‎1+i对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.‎ ‎2.方程sinx-‎π‎4‎‎=‎‎1‎‎4‎x的实数解的个数是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.1‎ 答案:B 解析:在同一平面直角坐标系内作出y=sinx-‎π‎4‎与y=‎1‎‎4‎x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.‎ ‎3.若x∈{x|log2x=2-x},则(　　)‎ A.x2>x>1 B.x2>1>x C.1>x2>x D.x>1>x2‎ 答案:A 解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图.‎ 由图可知,交点的横坐标1x>1.‎ ‎4.已知函数f(x)=‎1+lnx,01,‎若关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(-∞,0) B.(0,+∞)‎ C.(1,+∞) D.(0,1)‎ 答案:D 解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可变形为[f(x)-a][f(x)-1]=0,解得f(x)=a或f(x)=1.‎ 由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.‎ 当且仅当x=1时,f(x)=1.‎ 因为关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,‎ 所以f(x)=a恰有两个不同的实数根,‎ 即y=f(x),y=a的图象有两个交点.‎ 由图可知当010.‎若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(　　)‎ A.(1,10) B.(5,6)‎ C.(10,12) D.(20,24)‎ 答案:C 解析:作出f(x)的大致图象.‎ 由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a2,‎‎(-2‎)‎‎3‎+t<-2,‎ 解得-60时,f(x)=(-ax+1)x=-ax-‎‎1‎ax,结合二次函数的图象(图略)可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增;‎ 当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.‎ 函数f(x)在区间(0,+∞)内有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为　　　　　. ‎ 答案:-‎‎1‎‎2‎ 解析:在同一平面直角坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-‎1‎‎2‎.‎ ‎9.函数f(x)=2sin xsinx+‎π‎2‎-x2的零点个数为　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:f(x)=2sinxsinx+‎π‎2‎-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.‎ 如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有两个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有两个交点,即函数的零点个数为2.‎ ‎10.若不等式‎9-‎x‎2‎≤k(x+2)-‎2‎的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎ 解析:令y1=‎9-‎x‎2‎,y2=k(x+2)-‎2‎,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图.‎ ‎∵‎9-‎x‎2‎≤k(x+2)-‎2‎的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2‎2‎),‎ ‎∴k=‎2‎2‎+‎‎2‎‎1+2‎‎=‎‎2‎.‎ ‎11.已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,‎x‎2‎‎-4x+3,x<λ.‎当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　. ‎ 答案:(1,4)　(1,3]∪(4,+∞)‎ 解析:当λ=2时,f(x)=‎x-4,x≥2,‎x‎2‎‎-4x+3,x<2.‎ 当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.‎ 当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得14.‎ 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).‎ ‎12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)设g(x)=fx-‎π‎12‎‎2‎,求函数g(x)在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上的最大值,并确定此时x的值.‎ 解:(1)由题图知A=2,T‎4‎‎=‎π‎3‎,则‎2πω=4×π‎3‎,得ω=‎3‎‎2‎.‎ ‎∵f‎-‎π‎6‎=2sin‎3‎‎2‎‎×‎-‎π‎6‎+φ=2sin‎-π‎4‎+φ=0,‎ ‎∴sinφ-‎π‎4‎=0.‎ ‎∵0<φ<π‎2‎,-π‎4‎<φ-π‎4‎‎<‎π‎4‎,∴φ-π‎4‎=0,即φ=π‎4‎,‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)=2sin‎3‎‎2‎x+‎π‎4‎.‎ ‎(2)由(1)可得fx-‎π‎12‎ ‎=2sin‎3‎‎2‎x-‎π‎12‎‎+‎π‎4‎=2sin‎3‎‎2‎x+‎π‎8‎,‎ g(x)=fx-‎π‎12‎‎2‎=4×‎‎1-cos‎3x+‎π‎4‎‎2‎ ‎=2-2cos‎3x+‎π‎4‎.‎ ‎∵x∈‎-π‎6‎,‎π‎3‎,∴-π‎4‎≤3x+π‎4‎‎≤‎‎5π‎4‎,‎ ‎∴当3x+π‎4‎=π,即x=π‎4‎时,g(x)max=4.‎ 二、思维提升训练 ‎13.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=‎0,01.‎若关于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是(　　)‎ A.[0,ln 2] B.(-2-ln 2,0]‎ C.(-2-ln 2,0) D.[0,2+ln 2]‎ 答案:B 解析:设h(x)=f(x)+m,则h(x)的图象可由f(x)的图象沿着直线x=1上下平移得到.‎ 当x=1时,h(1)=f(1)+m=ln1+m=m,‎ 所以直线x=1与函数h(x)的图象的交点坐标为(1,m).‎ 当x=1时,g(1)=0,当x=2时,g(2)=-2,所以直线x=2与函数g(x)的图象的交点为(2,-2).‎ 当x=2时,h(2)=ln2+m,所以直线x=2与函数h(x)的图象的交点为(2,ln2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则等价为h(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,则满足h(1)≤g(1),‎h(2)>g(2),‎即m≤0,‎m+ln2>-2,‎得m≤0,‎m>-2-ln2,‎ 即-2-ln2-‎1‎‎2‎时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.‎ 所以g(x)的最小值为g‎-‎‎1‎‎2‎.‎ 而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.‎ 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.‎ 显然,当a≤0时,满足不等式g(x)0,‎‎3‎‎2‎‎+3(a-8)+15>0,‎‎5‎‎2‎‎+5(a-8)+15>0,‎‎3<‎8-a‎2‎<5,‎解得01,a>‎1‎‎6‎.‎ 综上可得,‎1‎‎6‎kOC‎1‎>‎kOC‎3‎,故p1,p2,p3中最大的是p2.‎ ‎17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)若函数F(x)=f(x),x≤0,‎g(x),x>0,‎且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.‎ 解:函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).‎ ‎(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0.因为g'(x)=2bx-‎1‎x,‎ 所以g'(1)=2b-1.依题意2b-1=0,得b=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-‎1‎x<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-‎1‎x>0.‎ 所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=‎1‎‎2‎.‎ 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.‎ 当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,‎ 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.‎ 从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.‎ 当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.‎ 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.‎ 从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则‎1‎‎2‎

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