5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题09 直线和圆

5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题09 直线和圆

‎【2012高考真题精选】 ‎ ‎1.【2012高考山东文9】圆与圆的位置关系为 ‎ (A)内切　　(B)相交　　(C)外切　　(D)相离 ‎2.【2012高考安徽文9】若直线与圆有公共点，则实数取值范围是 ‎（A） [-3，-1] （B）[-1，3]‎ ‎（C） [ -3，1] （D）（-，-3]U[，+）‎ ‎3.【2012高考重庆文3】设A，B为直线与圆 的两个交点，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎4.【2012高考浙江文4】设a∈R ，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 ‎5.【2012高考陕西文6】已知圆，过点的直线，则（ ）‎ A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】圆的方程可化为，易知圆心为半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.‎ ‎6.【2012高考辽宁文7】将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是 ‎（A）x+y-1=0 （B） x+y+3=0 （C）x-y+1=0 （D）x-y+3=0‎ ‎7．【2012高考湖北文5】过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=‎0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0‎ ‎8.【2012高考广东文8】在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于 A. B. C. D . ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心到直线的距离，则，所以.‎ ‎9.【2102高考福建文7】直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于 ‎ A. B . C. D.1‎ 圆心到直线的距离为，又知圆的半径为2，所以弦长.‎ ‎10.【2012高考上海文4】若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小 为 （结果用反三角函数值表示）‎ ‎11.【2012高考浙江文17】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.‎ ‎12.【2102高考北京文9】直线被圆截得弦长为__________。‎ ‎【答案】[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形。因为，夹角，因此，所以。‎ ‎13.【2012高考江西文14】过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是 ‎60°，则点P的坐标是__________。‎ ‎14.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有 公共点；‎ ‎∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎15.【2012高考天津文科12】 设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为 。‎ ‎【2011年高考真题精选】‎ ‎（2011·安徽卷）设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明l1与l2相交；‎ ‎(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎ (方法二)交点P的坐标(x，y)满足 故知x≠0，从而 代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.‎ 整理后，得2x2＋y2＝1，‎ 所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎（2011·北京卷）已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎（2011·湖北卷）过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．‎ ‎（2011·全国卷） 设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)‎ A．4 B．4 C．8 D．8 ‎【答案】C　【解析】 由题意知两圆的圆心在直线y＝x上，设C1(a，a)，C2(b，b)，可得(a－4)2＋(a－1)2＝a2，(b－4)2＋(b－1)2＝b2，即a，b是方程x2－10x＋17＝0的两根，a＋b＝10，ab＝17，|C1C2|＝＝＝8，故选C.‎ 图1－4‎ ‎（2011·福建卷）如图1－4，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎（2011·辽宁卷）已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．‎ ‎【答案】 (x－2)2＋y2＝10　‎ ‎【解析】 设圆心坐标为(x,0)，则有＝，解得x＝2.由两点距离得r＝ ‎＝，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.‎ ‎（2011·课标全国卷）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎（2011·四川卷）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)‎ A．(2,3) B．(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ ‎（2011·安徽卷）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ ‎【答案】B　【解析】 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.‎ ‎（2011·福建卷）如图1－4，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎ (2011·广东卷)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】 设圆心C的坐标C(x，y)，由题意知y＞0，则圆C的半径为y，由于圆C与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得＝1＋y，整理得：x2＝8(y－1)，所以轨迹为抛物线．‎ ‎（2011·湖北卷）过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．‎ ‎【答案】1或　【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线l的方程为y＋2＝k.又圆的方程为2＋2＝1，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝＝＝，解得k＝1或.‎ ‎（2011·湖南卷）已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.‎ ‎(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；‎ ‎(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．‎ ‎（2011·课标全国卷） 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎【解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为＝3.‎ ‎（2011·重庆卷）过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．‎ ‎（2011·安徽卷）设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明l1与l2相交；‎ ‎(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ 此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎(方法二)交点P的坐标(x，y)满足 故知x≠0，从而 代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.‎ 整理后，得2x2＋y2＝1，‎ 所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎【2010年高考真题精选】‎ ‎（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ‎（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.‎ ‎（2010重庆文数）（8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：化为普通方程，表示圆，‎ 因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得 法2：利用数形结合进行分析得 同理分析，可知 ‎（2010上海文数）7.圆的圆心到直线的距离 。‎ 答案：3‎ 解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线距离为 ‎（2010全国卷2文数）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离 。‎ ‎ （2010天津文数）（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。‎ ‎【答案】[来源:学#科#网]‎ 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。‎ 令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为 ‎（2010四川文数）(14)直线与圆相交于A、B两点，则 .‎ 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2‎ 圆心到直线的距离为d＝‎ 故 得|AB|＝2 答案：2 ‎【2009年高考真题精选】‎ ‎1.（2009·海南文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1‎ 答案：B 解析：设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。.‎ ‎2.（2009·安徽文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 A． B. ‎ C. D. ‎ 解析：可得斜率为即，选A。‎ 答案：A ‎3.（2009·广东文）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ 答案：‎ 解析：将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为www.zxxk.comc.o.m ‎ ‎4.（2009·浙江文）已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（ ）‎ ‎ 6.（2009·安徽文）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。‎ 解析：设由可得故 答案：(0,-1，0)www.zxxk.comc.o.m ‎ ‎7.（2009·广东文）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ 答案：‎ 解析：将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为www.zxxk.comc.o.m ‎ ‎8.（2009·辽宁文、理）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ‎（A） (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ 答案：B ‎【2008年高考真题精选】‎ ‎1．（2008·山东文科11）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和 轴相切，则该圆的标准方程是 （ ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ 解析： 本小题主要考查圆与直线相切问题。‎ 设圆心为由已知得 答案：B.‎ ‎2．（2008·广东文科6）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝‎0 ‎ C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0‎ 解析：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。‎ 答案：C ‎3．（2008·山东理科11）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （ ） [来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ A．10 B．‎20‎ C．30 D．40‎ 答案:B。‎ 解析:将方程化成标准方程，过点的最长弦（直径）为 最短弦为 ‎4．（2008·广东理科11）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是________________．‎ 答案：‎ 解析：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为．‎ ‎5．（2008·宁夏海南文科第20题）‎ 已知直线和圆.‎ ‎（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【最新模拟】‎ ‎ 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)‎ A．(2,3)　　　　 　　　 B．(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.‎ ‎∴圆心坐标为(2，－3)．‎ ‎2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.‎ ‎3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0‎ ‎ 4．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－4y＋1＝0 B．x－y＝0‎ C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0‎ ‎ 5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 ‎ 6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]‎ C. [1－2，3] D．[1－，3]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由y＝3－可知其图像为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，当直线y＝x＋b过点(0,3)时b＝3，当直线与圆相切时＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，故当1－2≤b≤3时直线和半圆有交点．‎ ‎7．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4‎ ‎ 8．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】将圆的方程化为标准方程得(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于半径之和，即a2＋4b2＝9，(a2＋4b2)＝1，所以＋＝(a2＋4b2)＝≥1，当且仅当a2＝2b2时等号成立，即＋的最小值为1.‎ ‎9．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．‎ ‎【答案】2x－y＝0‎ ‎【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 则R＝1，∵弦长为2，∴直线过圆心(1,2)，‎ 又过原点．∴y＝2x.‎ ‎10．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.‎ ‎(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；‎ ‎(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．‎ ‎ 11．如果直线l1：3x－4y－3＝0与直线l2关于直线x＝1对称，则直线l2的方程为________．‎ ‎【答案】3x＋4y－3＝0‎ ‎【解析】设P(x，y)是l2上任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点Q(2－x，y)在l1上，所以3(2－x)－4y－3＝0，整理得：3x＋4y－3＝0，此即直线l2的方程．‎ ‎12．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，若△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(2,2)之间距离的最小值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵△AOB为直角三角形，∴原点O到直线ax＋by＝1的距离为，∴＝，即a2＋b2＝2，又∵≤a2＋b2，∴－2≤a＋b≤2，‎ ‎∴于是点P(a，b)与点(2,2)之间的距离为 d＝＝≥.‎ ‎13．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝‎4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.‎ ‎(1)求直线l斜率的取值范围；‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【解析】(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，‎ 所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．‎ 所以，斜率k的取值范围是[－，]．‎ ‎(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.‎ 圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.‎ 圆心C到直线l的距离d＝.‎ 由|k|≤，得d≥>1，即d>.‎ 从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，‎ 所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.‎ ‎(1)求实数b的取值范围；‎ ‎(2)求圆C的方程；‎ ‎(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．‎ 为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有，解得或.‎ 经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．[来源:学科网]‎ ‎ 16.已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.‎ ‎(Ⅰ) 求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足 ‎,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.‎ ‎【答案】22．（本小题满分14分）[来源:Z_xx_k.Com]‎ 解: (Ⅰ)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则…………2分 ‎ ‎