2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）下学期开学考试数学文试题（解析版）

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）下学期开学考试数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）下学期开学考试数学文试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若数列的前 4 项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列的前 4 项分别是，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于 ，故此数列的一个通项公式为 故选A ‎2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于A，不等式两边同时加上一个数不等号方向不变，故A对； 对于B，取a=1，b=-1，c=0即知不成立，故错； 对于C，由于不等式的两边同乘以同一个负数不等号方向改变，由不等式基本性质即知不成立，故错； 对于D，取a=1，b=-1，即知不成立，故错；‎ 故选A．‎ ‎3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，‎ 设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，‎ 由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，‎ ‎∴a9=a5+4d=5+4×1=9．‎ 故选：B．‎ ‎4. 已知等比数列的公比，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查等比数列的定义或通项公式.‎ 故选B ‎5. 如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ） ‎ A. 30° B. 60°‎ C. 90° D. 120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵到直线的距离为 ‎∴空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，即点在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆中心，，，则 ‎∴为椭圆的焦点 ‎∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ‎∴的最大值为 故选B 点睛：解答本题时，要先将立体几何问题转化为平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用.‎ ‎6. 如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ‎ 设平面PQC′的一个法向量为 则 令z=1，得 ‎ a2b2≥2ab，解得ab≥8． ∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小， ∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2 ‎ ‎∵VC′-PQC=VC-PQC′， ‎ 故选B 点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.‎ ‎7. 如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（　　）‎ A. B. 7‎ C. D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，∴，∵，∴ ，∴，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了数量积的运用之线段长度的求法，属于基础题；选择一组合适的基底，主要标准为三个向量不共线，已知两两之间的夹角，已知向量的模长，根据空间向量基本定理将所求向量利用基底表示，再结合得长度.‎ ‎8. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意画出几何体的图形如图，把扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，‎ ‎∵，是正三角形，‎ 所以 ‎，‎ 所求球的表面积为：。‎ 故选A。‎ 点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．‎ ‎9. 已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上 由双曲线的定义   ① 由椭圆的定义   ② 又 故  ③‎ ‎ 得 ④ 将④代入③得 即 ‎ 即 ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．‎ ‎10. 对于每个自然数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 017B2 017|的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，解得，则两点的坐标为，则，所以,‎ ‎，故选D.‎ ‎11. 已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心，以为半径的圆交准线于，两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，如图可得及，可得，从而，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又因为△ABC的面积为，所以，解得p=8，故抛物线的方程为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎12. 已知为实数，且，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】取，满足，但是此时，即充分性不满足，‎ 反之，若，结合，利用不等式的性质相加可得：，即必要性满足，‎ 综上可得：“”是“”的必要非充分条件 .‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 函数的单调递增区间为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令t=cos=cos，则函数y=，本题即求函数t在满足t＞0时的减区间，故有2kπ≤＜2kπ+，求得6kπ﹣≤x＜6kπ+，‎ 故函数的增区间为[6kπ﹣，6kπ+，k∈Z，‎ 故答案为：[6kπ﹣，6kπ+]，k∈Z．‎ ‎14. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当时，，，，切线方程为，即．‎ 考点：函数的奇偶性，导数的几何意义．‎ ‎【名师点睛】求函数曲线 在点处的切线方程，根据导数的几何意义，只要求出导数，则切线方程为．要注意所求是在某点处的切线，还是过某点的切线，如果是求过某点的切线，一般设切线为，求出切线方程，然后把点坐标代入求出即得．‎ ‎15. 若点是函数的一个对称中心，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵点（θ，0）是函数f（x）=sinx+3cosx的一个对称中心，∴sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=﹣3，‎ 则cos2θ+sinθcosθ=.‎ 故答案为：．‎ ‎16. 设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由于，则需考虑的情况，‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质，‎ 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，‎ 因此不可能与每个周期内对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期的部分的交点，‎ 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，‎ 且处，则在附近仅有一个交点，‎ 因此方程的解的个数为8．‎ 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．‎ ‎(1)求复数z及；‎ ‎(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析: （）由(1＋3i)·z为纯虚数,代入z化简,令3-3b=0且9+b≠0,解出b的值,进而得出答案;(2)对ω分母实数化,化简求出模长.‎ 试题解析：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i ‎∵(1＋3i)·z是纯虚数，‎ ‎∴3－3b＝0，且9＋b≠0，‎ ‎∴b＝1，∴z＝3＋i.‎ ‎(2)ω＝＝‎ ‎＝＝－i ‎∴|ω|＝＝.‎ ‎18. 已知数列满足递推式，其中 ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：数列为等比数列.‎ ‎【答案】（1） ；（2）见解析 试题解析：（1）由知 解得同理得 ‎ ‎（2）由知 ‎ 是以为首项以2为公比的等比数列.‎ ‎19. 已知过点的动直线与抛物线：相交于，两点.当直线的斜率是时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设抛物线方程为，与直线方程联立，并设，结合韦达定理可，而已知条件告诉我们有，这样可解得，得抛物线方程；‎ ‎（2）设直线方程为，与抛物线方程联立方程组，同时设中点为，结合韦达定理可得，从而得中垂线方程，求出纵截距（关于的函数），由直线与抛物线相交可得的范围，从而可求得纵截距的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，‎ 即，由得：‎ ‎ ，‎ ‎①，②，‎ 又， ③，‎ 由①②③及得：，得抛物线的方程为.‎ ‎（2）设：，的中点坐标为，‎ 由得④‎ ‎，.‎ 线段的中垂线方程为，‎ 线段的中垂线在轴上的截距为： ‎ 对于方程④，由得或，.‎ ‎20. 已知数列，，为数列的前项和，，，‎ ‎ .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列.‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意得到两式做差得到，根据等比数列的公式得到；（2），由错位相减得到数列之和.‎ 解析：‎ ‎（1）当时， ‎ 当时， ，‎ 综上，是公比为，首项为的等比数列，.‎ ‎（2），，，‎ 综上，是公差为，首项为的等差数列.‎ ‎（3）由（2）知： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减得：‎ ‎ ‎ ‎，.‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎21. 已知点到点的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线：，交轨迹于、两点，为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所学的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；（2）根据题意先分析如何使的面积最大，可知当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出面积 解析：（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离 由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴 设轨迹C的方程为： ， , ‎ ‎ 轨迹C方程为：， 或 .‎ ‎（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,‎ 直线l化成斜截式为 ,当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,‎ 由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：，所以, ‎ ‎，解得，,所以P点坐标,P点到l的距离, A，B两点满足方程组 化简得. ‎ x1,x2 为该方程的根. 所以 ,‎ ‎ ,‎ ‎ . ‎ 点睛：本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形面积公式一一求出所需条件即可 ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数导数，根据导函数符号的判定来下结论，因为此时导函数分子带参数无法确定符号，故进行讨论，通常根据参数大于0，等于0，小于0一一讨论定号即可得出单调性，但要注意定义域的限制；（2）恒成立问题通常转化最值问题求解，求参数取值范围我们一般会优先考虑参数分离形成新函数求最值，本题即可在上恒成立， 即在上恒成立。，接下来分析函数 在上的最大值即可得出结论 解析：（1）由题知： ,‎ 当m≤0时，>0在x∈(0，＋∞)时恒成立,‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ‎ 当m>0时, ,‎ 令f′(x)>0，则 ；令f′(x)<0, 则.‎ ‎∴f(x)在为增函数，f(x)在为减函数. ‎ ‎(2)法一：由题知：在上恒成立， ‎ 即在上恒成立。 ‎ 令，所以 ‎ 令g′(x)>0，则；令g′(x)<0，则.‎ ‎ ∴g(x)在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ∴ ,∴. ‎ 法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需,‎ ‎（1）当m≤0时，f(x)在[1,e]上单调递增，所以 ,‎ 即，这与m≤0矛盾，此时不成立.‎ ‎（2）当m>0时,‎ ‎① 若即时，f(x)在[1，e]上单调递增，‎ 所以，即， 这与矛盾，此时不成立. ‎ ‎②若1<即时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 .‎ 所以即,‎ 解得 ，又因为，所以 , ‎ ‎③ 即m 2时，f(x)在 递减，则,‎ ‎∴ 又因为，所以m 2,综上 .‎