2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 46椭圆
考点规范练46 椭圆
基础巩固组
1.(2017浙江高考)椭圆x29+y24=1的离心率是( )
A.133 B.53 C.23 D.59
2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
3.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m等于( )
A.2 B.2或83 C.2或6 D.2或8
4.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )
A.33 B.36
C.13 D.16
5.若椭圆C:x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2=( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.(2017浙江嘉兴月考)如图,∠OFB=π6,△ABF的面积为2-3,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为 .
7.在椭圆x218+y28=1上一点到直线2x-3y+15=0的距离最小值为 .
8.设P为椭圆x24+y23=1上一点,F为椭圆的右焦点,A(2,2),则|PA|-|PF|的最小值为 .
能力提升组
9.(2017浙江金华东阳调研)椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ba的值为( )
A.32 B.233
C.932 D.2327
10.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,若|PH|=a2,则此椭圆的离心率为( )
A.5-12 B.32
C.17-14 D.22-2
11.(2017课标Ⅰ高考)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
12.(2017浙江绍兴质检)已知直线l:y=kx+2过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥455,则椭圆离心率e的取值范围是( )
A.0,55 B.0,255
C.0,355 D.0,455
13.(2017浙江温州模拟)设P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的动点,F1,F2为椭圆C的焦点,I为△PF1F2的内心,则直线IF1和直线IF2的斜率之积( )
A.是定值 B.非定值,但存在最大值
C.非定值,但存在最小值 D.非定值,且不存在最值
14.已知椭圆C:x2a2+y22=1(a>2)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex+a,P为点F1关于直线l对称的点,若△PF1F2为等腰三角形,则a的值为 .
15.在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的“折线距离”,则椭圆x22+y2=1上一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”的最小值为 .
16.(2017浙江温州十校联考)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1·PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是 .
17.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB的斜率互为相反数.
18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),离心率为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l过点S(4,0),与椭圆C交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为P',P'与Q两点的连线交x轴于点T,当△PQT的面积最大时,求直线l的方程.
答案：
1.B e=9-43=53,故选B.
2.B 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,
又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,
由椭圆定义知,点P的轨迹是椭圆.
3.D 显然m>0,且m≠4,当0
4时,椭圆长轴在y轴上,则14-1m14=22,解得m=8.
4.A 设PF1的中点为M,连接PF2.
因为O为F1F2的中点,所以OM为PF2的中位线.
所以OM∥PF2,
所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.
因为∠PF1F2=30°,
所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得
|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,
由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=3|PF2|2,
2c=|F1F2|=3|PF2|⇒c=3|PF2|2,
则e=ca=3|PF2|2·23|PF2|=33.故选A.
5.C 由题意得a=3,c=7,则|PF2|=2.
在△F2PF1中,由余弦定理可得
cos∠F2PF1=42+22-(27)22×4×2=-12.
又∵∠F2PF1∈(0,π),∴∠F1PF2=2π3.
6.x28+y22=1 设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,
∴|BF|=a.∵∠OFB=π6,
∴bc=33,a=2b.∴S△ABF=12·|AF|·|BO|=12(a-c)·b=12(2b-3b)b=2-3,
解得b2=2,则a=2b=22.∴所求椭圆的方程为x28+y22=1.
7.31313 设所求点坐标为A(32cos θ,22sin θ),θ∈R,由点到直线的距离公式得
d=|62cosθ-62sinθ+15|22+(-3)2=-12sinθ-π4+1513,当θ=2kπ+3π4,k∈Z时,d取到最小值31313.
8.13-4 设椭圆的左焦点为F'(-1,0),
则|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF'|)=|PA|+|PF'|-2a≥|AF'|-2a=13-4,当且仅当A,P,F'三点共线时等号成立,且P在A,F'之间时达到,故|PA|-|PF|的最小值为13-4.
9.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则ax12+by12=1,ax22+by22=1,
即ax12-ax22=-(by12-by22),by12-by22ax12-ax22=-1,
b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,∴ba×(-1)×32=-1,
∴ba=233,故选B.
10.C ∵F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,
以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,|PH|=a2,
∴x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2,
∴c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2,
∴4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4,
∴4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,∴4e2-4e4=4-5e2,
∴4e4-9e2+4=0,∵03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan 60°=3,即m3≥3,解得m≥9,综上m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.
12.B 依题意,知b=2,kc=2.
设圆心到直线l的距离为d,则L=24-d2≥455,
解得d2≤165.又因为d=21+k2,所以11+k2≤45,解得k2≥14.
于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以0b>0),
因为e=32,所以a2=4b2,
又因为M(4,1)在椭圆上,所以16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,
故椭圆方程为x220+y25=1.
(2)解 将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,
Δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-50,即m2>4.
又y1+y2=-24m4+3m2,y1y2=364+3m2,
直线PQ的方程为y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1,
则xT=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+4)y2+(my2+4)y1y1+y2
=2my1y2+4(y1+y2)y1+y2
=72m-24m+4=1,
则T(1,0),故|ST|=3.
所以S△PQT=S△SQT-S△SPT=32|y1-y2|
=32·(y1+y2)2-4y1y2=18m2-44+3m2,令t=m2-4>0,
则S△PQT=18t3t2+16=183t+16t≤1823t·16t=334,
当且仅当t2=163,即m2=283,即m=±2213时取到“=”,
故所求直线l的方程为x=±2213y+4.