数学（理）卷·2017届广西高三上学期教育质量诊断性联合考试（2017

数学（理）卷·2017届广西高三上学期教育质量诊断性联合考试（2017

‎2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.复数的实部与虚部分别为（ ）‎ A．， B．， C．, D．, ‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设向量，，，若（），则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．0 ‎ ‎7.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）‎ A． B．的图象关于对称 C． D．的图象关于对称 ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（ ）‎ A．94 B．99 C．45 D．203 ‎ ‎9.直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，．现用这5个年龄段的中间值代表年龄段，如12代表，代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为 ．‎ ‎14.已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为 ．‎ ‎15.若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 ．‎ ‎16.我国南宋著名数学家秦九昭在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）求数列的前项和，求的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．‎ ‎（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；‎ ‎（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，的中点为，求二面角的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，，为椭圆：的左、右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．直线与椭圆交于，两点，，两点的“椭点”分别为，，已知以为直径的圆经过坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中，为常数．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有2个零点，有6个零点，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，为不等式的解集．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当，时，．‎ ‎2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.21‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴此看台的座位数为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18.解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件，‎ 则．‎ ‎（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．‎ 由题意可得可取，，，，则有 ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故（或）．‎ ‎19.（1）证明：连接，，则和皆为正三角形．‎ 取中点，连接，，则，，从而平面，．‎ ‎（2）解：由（1）知，，又满足，‎ 所以，平面．‎ 如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 设平面的法向量为，因为，，‎ 所以取．‎ 设平面的法向量为，因为，，‎ 同理可取．‎ 则，因为二面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）由题可知解得故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设，，则，．‎ 由，即．（*）‎ ‎①当直线的斜率不存在时，；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其直线为（），‎ 联立得，‎ 则，，‎ 同理，代入（*），整理得．‎ 此时，，，∴．‎ 综上，的面积为定值1．‎ ‎21.解：（1）∵，∴，∴，即．‎ 又，∴，∵，‎ ‎∴所求切线方程为，即．‎ ‎（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，‎ 设，则，令，得；‎ 令，得，，∴的极小值为．　‎ ‎∵，∴由的图象可知．‎ ‎∵，∴令，得或，即或，‎ 而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，‎ ‎∴且，∴，∴． ‎ ‎22.解：（1）可化为，‎ 故其极坐标方程为．‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎23.解：（1）‎ 当时，由，得，舍去；‎ 当时，由，得，即；‎ 当时，由，得，即．‎ 综上，．‎ ‎（2）因为，，∴，，‎ 所以．‎