数学理卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试（2017

数学理卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试（2017

绝密★启用前 揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试 数学(理科)‎ 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知等差数列的前n项和为，且,则数列的公差为 ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎（4）设D为△ABC所在平面内一点，且,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）b与d是异面直线 ‎（6）若命题：“”为假命题，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）函数的大致图象是 π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O π ‎-π ‎-π π x y O ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知且，函数满足，，则 ‎（A） （B） （C）3 （D）2‎ ‎（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 ‎（A）1234 （B）2017 （C）2258 （D）722 ‎ ‎（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中 任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）直线与圆交于A、B两点，O为坐标 原点，若直线OA 、OB的倾斜角分别为、，则= 图1‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 ‎（A）29 （B）25 （C）18 （D）16‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）在的展开式中，常数项是 ．‎ ‎（14）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到 椭圆上点的最大距离为，则分别以为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 . ‎ ‎（15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 .‎ ‎（16）已知正项数列的首项，且对一切的正整数，‎ 均有:，则数 图2‎ 列的通项公式 . ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，、、分别为角、、所对的边，，且．‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图3，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，‎ AO=AB=BC=1，PO=，．‎ ‎(Ⅰ)证明：平面POC⊥平面PAD；‎ ‎(Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值． 图3‎ ‎（19）（本小题满分12分） ‎ 某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．‎ ‎（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布，某天有1000位顾客，请估计消费额X ‎（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；‎ 附：若，则，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；‎ ‎（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：‎ 一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）、C（0, -1），N为y轴上的点，MN垂直于y轴，且点M满足（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．‎ ‎(Ⅰ)求曲线T的方程；‎ ‎(Ⅱ)设点P（P不在y轴上）是曲线T上任意一点，曲线T在点P处的切线l与直线 交于点Q，试探究以PQ为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设a >0，已知函数(x>0)．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性；‎ ‎(Ⅱ)试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(Ⅰ)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎(Ⅱ)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．‎ ‎(Ⅰ)若，求函数的值域；‎ ‎(Ⅱ)若，求不等式的解集．‎ 揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B D C B A B D A 解析：（9） 输出结果为：；‎ ‎（10）；‎ ‎（11）设，由三角函数的定义得：‎ ‎，由消去y得：，‎ 则，即.‎ ‎（12）由结合得 ‎（当且仅当时等号成立）‎ 故,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆与坐标轴的交点4个，共29个.‎ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎70‎ ‎30‎ 解析：（15）.‎ ‎（16）由，‎ ‎，则，.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）由，结合余弦定理得：‎ ‎，-------------------------------------------------------------------------------2分 ‎，----------------------------------------------------------------------------------3分 则，-----------------------------------------------------5分 ‎∵ ∴. ---------------------------------------------------------------------------7分 ‎(Ⅱ) 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理知 ‎，-------------------------------------------------------------------9分 故,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离.---------------------------------------------------------------12分 ‎（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC中，‎ ‎∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，‎ ‎∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分 在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分 又，∴OC⊥平面PAD，‎ 又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分 ‎（Ⅱ）解法1：由O是AD中点，PA=PD，得PO⊥AD；‎ 以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz， ---------- 7分 得，，，，，‎ 得，，，‎ 设是平面PAB的一个法向量，‎ 则，得，取z=1，‎ 得， ----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD与平面PAB所成角为，‎ 则，‎ ‎∴，即CD与平面PAB所成角的余弦值为． ------------------------------12分 ‎【解法2：连结OB，‎ ‎∵OD//BC，且OD=BC ∴BCDO为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分 ‎ 由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵AB平面，∴平面PAB⊥平面PAD，----------------------------------------------------8分 E 过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，‎ ‎∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，----------------------10分 在Rt△OEB中，∵,,‎ ‎∴,‎ ‎ 即CD与平面PAB所成角的余弦值为． --------------------------------------------------12分】‎ ‎（19）解：（Ⅰ）依题意得，，得，， ------------ 1分 消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分 人数约为=477人， ------------------------3分 其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分 ‎（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，‎ 三人中中奖人数服从二项分布，‎ ‎，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064(或)‎ ‎0.288(或)‎ ‎0.432(或)‎ ‎0.216(或)‎ ‎ -----------8分 ‎（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分 B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分 方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，‎ 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 ‎（20）解：（Ⅰ）设点，依题意知，‎ ‎∵，---------------------------2分 由得，即，‎ ‎∴所求曲线T的方程为------------------- 4分 ‎（Ⅱ）解法1：设，‎ 由得 则---------------------------5分 ‎∴直线l的方程为：‎ 令得，即点Q的坐标为--------6分 设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，‎ 得以PQ为直径的圆的方程为：------①-----------8分 在①中，令得，------------------------②‎ ‎， -----------------------------------------------------------③‎ 由②③联立解得或 --------------------------------------------------------------10分 将代入①式，左边==右边，‎ 即以PQ为直径的圆过点，--------------------------------------------------------------------11分 将代入①式，左边右边，‎ ‎∴以为直径的圆恒过点，该定点的坐标为--------------------------------------------12分 ‎【解法2：设，由得 则 -----------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎∴直线l的方程为：‎ 令得，即点Q的坐标为-------------------------------------------6分 设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，‎ 得以PQ为直径的圆的方程为：------①------------8分 假设以PQ为直径的圆过定点，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，上式恒成立，‎ ‎∴以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为----------------------------------------------12分】‎ ‎【解法3：设，由得 则------------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎∴直线l的方程为：‎ 令得，即点Q的坐标为------------------------------------------6分 假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设，‎ 则由得------① --------------------------------------8分 ‎，，‎ ‎∴，即以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为--------------------------12分】‎ ‎（21）解：（Ⅰ），----------------------------------------------------------------1分 ‎，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎①当时，，，即，‎ ‎∴在上单调递增； -----------------------------------------------------------------3分 ‎②当时，，‎ 由得，‎ ‎， -----------------------------------------------------------------------------4分 可知，由的图象得：‎ 在和上单调递增； --------------------5分 在上单调递减． ---------------------------------6分 ‎（Ⅱ）解法1：函数在上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分 假设函数有两个零点，由（Ⅰ）知，，‎ 因为，则，即，‎ 由知，所以，‎ 设，则（＊）， -----------------------------------------------------------------9分 由，得，‎ 设，得， -------------------------------------------------10分 所以在递增，得，即，‎ 这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分 所以上假设不成立，即函数没有两个零点． ------------------------------------------12分 ‎【解法2：函数在上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分 ‎ 由（Ⅰ）知当时，函数在上单调递增，‎ ‎∴函数在上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分 当时，∵， ‎ 由（Ⅰ）知当时，有极小值，‎ ‎，---------------------9分 令则，，‎ 设，得，------------------------------------------------------10分 ‎∴在单调递增，得，即，‎ 可知当时，函数在不存在零点；‎ 综上可得函数在上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）直线l经过定点，-----------------------------------------------------------------2分 由得，‎ 得曲线的普通方程为，化简得；---5分 ‎（Ⅱ）若，得，的普通方程为，----------------------------------6分 则直线的极坐标方程为，------------------------------------------------8分 联立曲线：．‎ 得，取，得，所以直线l与曲线的交点为．------------10分 ‎（23）解：（Ⅰ）当时，-------------------------------------------------1分 ‎∵，-------------------------------------------------3分 ‎，函数的值域为；------------------------------ 5分 ‎（Ⅱ）当m=－1时，不等式即，------------------------------- -6分 ‎①当时，得，解得，； --------------------- 7‎ 分 ‎②当时，得，解得，； --------------- 8分 ‎③当时，得，解得，所以无解； ------------------------9分 综上所述，原不等式的解集为． -----------------------------------------------------10分