数学卷·2018届江苏省苏州市张家港高级中学高二上学期期中考试数学试卷(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届江苏省苏州市张家港高级中学高二上学期期中考试数学试卷(解析版)

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年江苏省苏州市张家港高中联考高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题:(本大题共14小题,每题5分,共70分.请将答案填写在答卷纸上)‎ ‎1.直线x﹣y+a=0的倾斜角为  .‎ ‎2.若正方体外接球的体积是,则正方体的棱长等于  .‎ ‎3.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)二点,则a=  .‎ ‎4.若ab>0,ac<0,则直线ax+by+c=0不经过第  象限.‎ ‎5.过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程为  .‎ ‎6.直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是  .‎ ‎7.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则三棱锥A﹣B1D1D的体积为  cm3.‎ ‎8.入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是  .‎ ‎9.已知直线l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为  .‎ ‎10.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:‎ ‎①α∥β⇒l⊥m;‎ ‎②α⊥β⇒l∥m;‎ ‎③l∥m⇒α⊥β;‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是  .‎ ‎11.已知实数x,y满足的最小值为  .‎ ‎12.圆心在直线y=﹣4x上,并且与直线l:x+y﹣1=0相切于点P(3,﹣2)的圆的方程为  .‎ ‎13.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P使得∠APB=90°,则m的最大值为  .‎ ‎14.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥P﹣ABC的体积为  .‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6道题,解答或证明需写出必要的文字说明和演算过程步骤)‎ ‎15.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ) 求证:EF⊥平面PDC.‎ ‎16.(14分)已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为,求圆C的方程.‎ ‎17.(14分)已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点,一条边所在的直线方程是x+3y﹣5=0,求其他三边所在直线的方程.‎ ‎18.(16分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2.‎ ‎(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2;‎ ‎(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?‎ ‎19.(16分)如图,经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.‎ ‎(1)若A(0,1),求点C的坐标;‎ ‎(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(16分)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:x+y﹣a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.‎ ‎(1)若a=8,切点T(,﹣1),求直线AP的方程;‎ ‎(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江苏省苏州市张家港高中联考高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题:(本大题共14小题,每题5分,共70分.请将答案填写在答卷纸上)‎ ‎1.(2016秋•张家港市期中)直线x﹣y+a=0的倾斜角为 60° .‎ ‎【考点】直线的倾斜角.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;演绎法;直线与圆.‎ ‎【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系,可以求出α的值.‎ ‎【解答】解:设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α,‎ 则直线的方程可化为y=x+a,‎ l的斜率k=tanα=,‎ ‎∵0°≤α<180°,‎ ‎∴α=60°.‎ 故答案为60°.‎ ‎【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(2009•日照一模)若正方体外接球的体积是,则正方体的棱长等于  .‎ ‎【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】先求球的半径,直径就是正方体的对角线,然后求出正方体的棱长即可.‎ ‎【解答】解:正方体外接球的体积是 ,则外接球的半径R=2,‎ 正方体的对角线的长为4,棱长等于 ,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查球的内接正方体问题,解题的关键是抓住直径就是正方体的对角线,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(2016秋•张家港市期中)斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)二点,则a= 4 .‎ ‎【考点】直线的两点式方程.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;直线与圆.‎ ‎【分析】接利用直线的点斜式方程求解即可.‎ ‎【解答】解:经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程:y﹣5=2(x﹣3),‎ 将(a,7)代入y﹣5=2(x﹣3),解得:a=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法,点斜式方程的形式,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎4.(2016秋•张家港市期中)若ab>0,ac<0,则直线ax+by+c=0不经过第 三 象限.‎ ‎【考点】直线的一般式方程.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;直线与圆.‎ ‎【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距,即可得到直线的位置.‎ ‎【解答】解:直线的斜截式方程为y=﹣x﹣,‎ ‎∵ac<0且ab>0,‎ ‎∴bc<0,‎ ‎∴斜率﹣<0,在y轴上的截距﹣>0.‎ ‎∴直线ax+by+c=0不通过第三象限.‎ 故答案为:三.‎ ‎【点评】本题主要考查直线的方程的应用,将方程转化为斜截式是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎5.(2011•青羊区校级模拟)过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程为 x+y﹣5=0,或3x﹣2y=0 .‎ ‎【考点】直线的截距式方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况,用待定系数法求直线方程即可.‎ ‎【解答】解:若直线的截距不为0,可设为,把P(2,3)代入,得,,a=5,直线方程为x+y﹣5=0‎ 若直线的截距为0,可设为y=kx,把P(2,3)代入,得3=2k,k=,直线方程为3x﹣2y=0‎ ‎∴所求直线方程为x+y﹣5=0,或3x﹣2y=0‎ 故答案为x+y﹣5=0,或3x﹣2y=0‎ ‎【点评】本题考查了直线方程的求法,属于直线方程中的基础题,应当掌握.‎ ‎ ‎ ‎6.(2016秋•张家港市期中)直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是  .‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;演绎法;直线与圆.‎ ‎【分析】把两条平行直线的方程中x、y的系数化为相同的,再由条件利用两条平行直线间的距离公式计算求得结果.‎ ‎【解答】解:两直线3x+4y+3=0,6x+8y+11=0,即两直线6x+8y+6=0,6x+8y+11=0,‎ 故它们之间的距离为=.‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用,注意未知数的系数必需相同,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(2012秋•苏州期末)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则三棱锥A﹣B1D1D的体积为 3 cm3.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】连接AC交BD于O,根据此长方体的结构特征,得出AO为A到面B1D1D的垂线段.△B1D1D为直角三角形,面积易求.所以利用体积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形.‎ 连接AC交BD于O,‎ 则AC⊥BD,又D1D⊥BD,‎ 所以AC⊥面B1D1D,‎ AO为A到面B1D1D的垂线段,‎ 且AO=.‎ 又S△B1D1D=‎ 所以所求的体积V=cm3.‎ 故答案为:3‎ ‎【点评】本题考查锥体体积计算,对于三棱锥体积计算,要选择好底面,便于求解.‎ ‎ ‎ ‎8.(2011•顺庆区校级模拟)入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是 x﹣2y﹣1=0 .‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】光线关于直线y=x对称,直线y=2x+1在x、y轴上的截距互换,即可求解.‎ ‎【解答】解:∵入射光线与反射光线关于直线l:y=x对称,‎ ‎∴反射光线的方程为y=2x+1即x﹣2y﹣1=0.‎ 故答案为:x﹣2y﹣1=0.‎ ‎【点评】光线关于直线对称,一般用到直线到直线的角的公式,和求直线的交点坐标,解答即可.本题是一种简洁解法.‎ ‎ ‎ ‎9.(2016秋•张家港市期中)已知直线l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为 ﹣7 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【专题】直线与圆.‎ ‎【分析】由两直线平行,得到系数之间所满足的关系,求解即可得到满足条件的m的值.‎ ‎【解答】解:∵直线l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,‎ ‎∴,解得m=﹣7.‎ 故答案为:﹣7.‎ ‎【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,关键是对条件的记忆与应用,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016•江苏模拟)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:‎ ‎①α∥β⇒l⊥m;‎ ‎②α⊥β⇒l∥m;‎ ‎③l∥m⇒α⊥β;‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是 ①③ .‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,当α∥β有l⊥m,当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,当l∥m有α⊥β,当l⊥m有α∥β或α∩β,得到结论 ‎【解答】解:直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,‎ 当α∥β有l⊥m,故①正确 当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,故②不正确 当l∥m有α⊥β,故③正确,‎ 当l⊥m有α∥β或α∩β,故④不正确,‎ 综上可知①③正确,‎ 故答案为:①③‎ ‎【点评】本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是看出在所给的条件下,不要漏掉其中的某一种位置关系,本题是一个基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(2010•河东区二模)已知实数x,y满足的最小值为  .‎ ‎【考点】点到直线的距离公式.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由题意得,所求的最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离.‎ ‎【解答】解: 表示直线 2x+y+5=0上的点与原点的距离,其最小值就是原点到直线2x+y+5=0‎ 的距离 =,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查的意义,以及点到直线的距离公式的应用,其中明确表示直线 2x+y+5=0上的点与原点的距离,‎ 是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(2014•上高县校级模拟)圆心在直线y=﹣4x上,并且与直线l:x+y﹣1=0相切于点P(3,﹣2)的圆的方程为 (x﹣1)2+(y+4)2=8 .‎ ‎【考点】圆的标准方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】设出圆心坐标,利用直线与圆相切,求出x的值,然后求出半径,即可得到圆的方程.‎ ‎【解答】解:设圆心O为(x,﹣4x) kop=‎ kL=﹣1 又相切∴kop•kL=﹣1∴x=1∴O(1,﹣4)r==‎ 所以所求圆方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8.‎ 故答案为:(x﹣1)2+(y+4)2=8.‎ ‎【点评】本题是基础题,考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎13.(2016秋•张家港市期中)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P使得∠APB=90°,则m的最大值为 6 .‎ ‎【考点】圆的标准方程.‎ ‎【专题】直线与圆.‎ ‎【分析】C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),由已知得m2=a2+b2=|OP|2,m的最大值即为|OP|的最大值.‎ ‎【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,‎ 设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),‎ ‎∵∠APB=90°,∴,‎ ‎∴=(a+m)(a﹣m)+b2=0,‎ ‎∴m2=a2+b2=|OP|2,‎ ‎∴m的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点评】本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎14.(2013•徐州三模)已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥P﹣ABC的体积为 9 .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长,再根据棱长求出高,然后根据体积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:根据题意几何体为正三棱锥,如图,‎ PD=a;OD=a;OP==.‎ 设棱长为a,则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3,‎ V棱锥=×a2×a=9,‎ 故答案是9‎ ‎【点评】本题考查锥体的体积.‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6道题,解答或证明需写出必要的文字说明和演算过程步骤)‎ ‎15.(14分)(2010•江西模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ) 求证:EF⊥平面PDC.‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】对于(Ⅰ),要证EF∥平面PAD,只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可,而E、F分别为PC、BD的中点,所以连接AC,EF为中位线,从而得证;‎ 对于(Ⅱ)要证明EF⊥平面PDC,由第一问的结论,EF∥PA,只需证PA⊥平面PDC即可,已知PA=PD=AD,可得PA⊥PD,只需再证明PA⊥CD,而这需要再证明CD⊥平面PAD,‎ 由于ABCD是正方形,面PAD⊥底面ABCD,由面面垂直的性质可以证明,从而得证.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)连接AC,则F是AC的中点,在△CPA中,EF∥PA(3分)‎ 且PA⊂平面PAD,EF⊊平面PAD,‎ ‎∴EF∥平面PAD(6分)‎ ‎(Ⅱ)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,‎ ‎∴CD⊥PA(9分)‎ 又PA=PD=AD,‎ 所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD(12分)‎ 而CD∩PD=D,‎ ‎∴PA⊥平面PDC,又EF∥PA,所以EF⊥平面PDC(14分)‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定,而其中的转化思想的应用值得注意,将线面平行转化为线线平行;证明线面垂直,转化为线线垂直,在证明线线垂直时,往往还要通过线面垂直来进行.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)(2009•天心区校级模拟)已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为,求圆C的方程.‎ ‎【考点】圆的标准方程;直线与圆的位置关系.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,然后过圆心作出弦的垂线,根据垂径定理得到垂足为弦的中点,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d,由弦长的一半,圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.‎ ‎【解答】解:设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,‎ 则圆心到直线y=x的距离d==|t|,‎ 由勾股定理及垂径定理得:()2=r2﹣d2,即9t2﹣2t2=7,‎ 解得:t=±1,‎ ‎∴圆心坐标为(3,1),半径为3;圆心坐标为(﹣3,﹣1),半径为3,‎ 则(x﹣3)2+(y﹣1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.‎ ‎【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标,找出圆的半径是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2016秋•张家港市期中)已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点,一条边所在的直线方程是x+3y﹣5=0,求其他三边所在直线的方程.‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程.‎ ‎【专题】计算题;待定系数法;直线与圆.‎ ‎【分析】根据两条直线相交求出正方形的中心C的坐标,根据正方形的一条边所在的方程设出其它三边的直线方程,再由C到正方形四条边的距离相等列出方程,求出直线方程即可.‎ ‎【解答】解:根据题意,得,‎ 解得,‎ 所以正方形中心C的坐标为(﹣1,0).‎ 点C到直线x+3y﹣5=0的距离d==.‎ 设与x+3y﹣5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠﹣5),‎ 则点C到直线x+3y+m=0的距离 d==,‎ 解得m=﹣5(舍去)或m=7,‎ 所以与x+3y﹣5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.‎ 设与x+3y﹣5=0垂直的边所在直线的方程是3x﹣y+n=0,‎ 则点C到直线3x﹣y+n=0的距离d==,‎ 解得n=﹣3或n=9,‎ 所以与x+3y﹣5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x﹣y﹣3=0和3x﹣y+9=0.‎ ‎【点评】本题考查了两条直线平行与垂直故选的应用问题,也考查了点到直线的距离的应用问题,是综合性题目.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)(2012•湖北)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2.‎ ‎(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2;‎ ‎(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.‎ ‎【专题】计算题;证明题.‎ ‎【分析】(1)依题意易证AC⊥B1D1,AA2⊥B1D1,由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2;‎ ‎(2)需计算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面积(除去下底面的面积)S1,四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的表面积(除去下底面的面积)S2即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,‎ ‎∴AA2⊥AB,AA2⊥AD,又AB∩AD=A,‎ ‎∴AA2⊥平面ABCD.连接BD,‎ ‎∵BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴AA2⊥BD,又底面ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,根据棱台的定义可知,BD与B1D1共面,‎ 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,‎ ‎∴B1D1∥BD,于是由AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1,又AA2∩AC=A,‎ ‎∴B1D1⊥平面ACC2A2;‎ ‎(2)∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,‎ ‎∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面 ‎=+4AB•AA2‎ ‎=102+4×10×30‎ ‎=1300(cm2)‎ 又∵四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,‎ ‎∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面 ‎=+4×(AB+A1B1)•h等腰梯形的高 ‎=202+4×(10+20)•‎ ‎=1120(cm2),‎ 于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),‎ 故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱、棱台的侧面积和表面积,着重考查分析转化与运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)(2012•北京模拟)如图,经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.‎ ‎(1)若A(0,1),求点C的坐标;‎ ‎(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】圆的标准方程;直线的斜率;直线与圆的位置关系.‎ ‎【专题】综合题;直线与圆.‎ ‎【分析】(1)先求l1的方程,进而可求l2的方程,即可得到点C的坐标;‎ ‎(2)因为AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径,分类讨论,确定A、C的坐标,表示出AC,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:(1)由直线l1经过两点A(0,1),B(1,2),得l1的方程为x﹣y+1=0.‎ 由直线l2⊥l1,且直线l2经过点B,得l2的方程为x+y﹣3=0.‎ 所以,点C的坐标为(3,0).‎ ‎(2)因为AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径.‎ ‎①若l1⊥y轴,则l2∥y轴,此时四边形OABC为矩形,.‎ ‎②若l1与y轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为.‎ 所以直线l1的方程为y﹣2=k(x﹣1),从而A(0,2﹣k);‎ 直线l2的方程为,从而C(2k+1,0).‎ 令解得,注意到k≠0,所以.‎ 此时|AC|2=(2﹣k)2+(2k+1)2=5k2+5>5,,‎ 所以半径的最小值为.‎ 此时圆的方程为.‎ ‎【点评】本题考查确定直线位置的几何要素,直线的倾斜角和斜率,过两点的直线斜率的计算公式,直线方程的点斜式,两条直线平行或垂直的判定,圆的标准方程,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)(2016•江苏模拟)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:x+y﹣a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.‎ ‎(1)若a=8,切点T(,﹣1),求直线AP的方程;‎ ‎(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.‎ ‎【分析】(1)由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,求出直线PT的方程,联立直线l和PT,得P(2,2),由此能求出直线AP的方程.‎ ‎(2)设P(x,y),由PA=2PT,得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆(x﹣)2+y2=.问题可转化为直线与圆(x﹣)2+y2=有公共点,由此能求出实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,‎ 又切点T(,﹣1),∴kOT=﹣,kPT=﹣=,‎ ‎∴直线PT的方程为y+1=(x﹣),即,‎ 联立直线l和PT,,解得x=2,y=2,即P(2,2),‎ ‎∴直线AP的斜率为k==,‎ ‎∴直线AP的方程为y=,即()x﹣2y+2﹣2=0.‎ ‎(2)设P(x,y),由PA=2PT,得(x+2)2+y2=4(x2+y2﹣4),即3x2+3y2+4x﹣20=0,‎ 即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆(x﹣)2+y2=.‎ ‎∴问题可转化为直线与圆(x﹣)2+y2=有公共点,‎ ‎∴d=≤,即||,‎ 解得.‎ ‎∴实数a的取值范围是[,].‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法,考查实数取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质、直线方程等知识的合理运用.‎
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