2012高考真题分类汇编：概率

2012高考真题分类汇编：概率

‎2012高考真题分类汇编：概率 一、选择题 ‎1、【2012高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2、【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A. B. C. D.‎ ‎3、【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎4、【2012高考真题北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5、【2012高考真题辽宁理10】在长为‎12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于‎32cm2的概率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二、填空题 ‎6、【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。‎ ‎7、【2012高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ‎8、【2012高考江苏6】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ 三、解答题 ‎9、【2012高考真题全国卷理19】‎ 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.‎ ‎（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.‎ ‎10、【2012高考真题四川理17】‎ ‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。‎ ‎11、【2012高考真题湖北理】‎ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：‎ ‎（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； ‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. ‎ ‎12、【2012高考真题广东理17】某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望．‎ ‎13、【2012高考真题天津理16】‎ 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎14、【2012高考真题浙江理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎15、【2012高考真题重庆理17】‎ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.‎ ‎（Ⅰ） 求甲获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 ‎ ‎ ‎16、【2012高考真题江西理29】‎ 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。‎ ‎（1）求V=0的概率；‎ ‎(2)求V的分布列及数学期望。‎ ‎17、【2012高考真题湖南理17】‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎（注：将频率视为概率）‎ ‎18、【2012高考真题安徽理17】‎ 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。‎ ‎（Ⅰ）求的概率；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。‎ ‎19、【2012高考真题新课标理18】‎ 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，‎ 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 ‎（单位：枝，）的函数解析式. ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，‎ 数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？‎ 请说明理由.‎ ‎20、【2012高考真题山东理19】‎ ‎ 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望.‎ ‎21、【2012高考真题福建理16】‎ 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.‎ ‎22、【2012高考真题北京理17】‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ ‎23、【2012高考真题陕西理20】‎ 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时。‎ ‎（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；‎ ‎（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望。‎ ‎ ‎ ‎24、【2012高考江苏25】设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎ ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 D ‎3、 C ‎4、 D ‎5、 C 二、填空题 ‎6、 ‎ ‎7、 ‎ ‎8、 。‎ 三、解答题 ‎9、‎ ‎10、‎ ‎11、 （Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ 于是，；‎ ‎.‎ ‎ 故工期延误天数的均值为3，方差为. ‎ ‎（Ⅱ）由概率的加法公式，‎ 又. ‎ ‎ 由条件概率，得.‎ 故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. ‎ ‎12、 ‎ ‎13、‎ ‎14、 本题主要考察分布列，数学期望等知识点。‎ ‎(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎ ； ；‎ ‎； ．‎ 故，所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：‎ E(X)＝．‎ ‎15、‎ ‎16、 ‎ ‎17、 （1）由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ .‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 ‎ .‎ 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知 从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎18、 【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为 ‎（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为，‎ 随机变量可取 ‎，，‎ ‎。‎ 答：（Ⅰ）的概率为，‎ ‎ （Ⅱ）求的均值为。‎ ‎19、 （1）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 得：‎ ‎ （2）（i）可取，，‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （ii）购进17枝时，当天的利润为 ‎ 得：应购进17枝 ‎20、 ‎ ‎21、 ‎ ‎22、 解：（1）由题意可知：。‎ ‎（2）由题意可知：。‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎23、 ‎ ‎24、 【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。‎ ‎ （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。‎