数学理（A）卷·2018届河北省冀州中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学理（A）卷·2018届河北省冀州中学高二下学期期中考试（2017-05）

试卷类型：A卷 河北冀州中学 ‎2016-2017学年度下学期期中 高二年级理科数学试题 ‎（ 考试时间：120分钟 分值：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共52分）‎ 一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={x||x﹣2|≤1}，且A∩B=∅，则集合B可能是 （　　）‎ A．{2，5} B．{x|x2≤1} C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎2．已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则= （　　）‎ A．i B．1 C．﹣i D．﹣1‎ ‎3.以下四个命题中，真命题是 （　　）‎ A．， ‎ B．“，”的否定是“，” ‎ C．，函数都不是偶函数 ‎ D．条件：，条件:则是的必要不充分条件 ‎ ‎4．关于直线及平面，下列命题中正确的是 （　　）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ ‎ C．若，则 D．若，则 ‎5.一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本数据的中位数是 （　　）‎ A．6 B．7 C.8 D．9‎ ‎6. 执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是 （　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎7.若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为 （　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 函数的图象大致为（　　）A． B． C． D．‎ ‎9.将函数的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于对称，则的最小值为（　　）A． B． C. D．‎ ‎10．如图，格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为 （　　）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.记不等式组表示的平面区域为，过区域中任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为 （　　）‎ A． B． C. D．‎ ‎12．已知双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2 于 A，B 两点．若||，||，||成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共98分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案直接答在答题纸上。‎ ‎14．甲、乙两人从门不同的选修课中各选修门，则甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有___________种． ‎ ‎15. 已知两向量与满足，且，则与的夹角为___________． ‎ ‎16.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为___________． ‎ ‎17. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是___________． ‎ 三、解答题：本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分12分）．数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1，数列{bn}，{cn}满足bn=log3，cn=．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＜m对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．‎ ‎19.(本小题满分分) 已知f（x）=sinx•cosx+cos2x，锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（C）=1，求m=的取值范围．‎ ‎20. (本小题满分分) 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）‎ ‎（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.‎ ‎（附公及表）‎ ‎①若，则，；‎ ‎②，；‎ ‎③‎ ‎21.(本小题满分12分）如图，四棱锥中，AB∥CD， BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1 ．‎ ‎（Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB；‎ ‎（Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值．‎ ‎22. (本小题满分分) 已知F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．‎ ‎（Ⅰ）试求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．‎ ‎23．(本小题满分分)已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的取值范围．‎ ‎24. (本小题满分10分) 若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求||‎ 河北冀州中学 ‎2016-2017学年度下学期期中高二年级理科数学答案 A卷：1. D 2. A 3. D 4. C 5. C 6. D 7. C 8. C 9. B 10. B 11.D 12.C 13. B B卷：1. A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. D 7. C 8. D 9. C 10. C 11.A 12.B 13. A ‎14. 15. 16. 17.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由题意得：，①②‎ ‎①﹣②可得=0，即．当n=1时，则，则{an}是以为首项，为公比的等比数列．因此．………6分 ‎（Ⅱ），cn===‎ ‎∴．‎ ‎∴．………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）．‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期．‎ 由是单调递增，解得：．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间，最小正周期为π．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．∴‎ ‎∴或k∈Z，∵△ABC是锐角三角形，∴．‎ 由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得c2=a2+b2﹣ab ‎∴．‎ ‎∵△ABC为锐角三角形∴∴．由正弦定理得：．∴．‎ ‎20. 解：（Ⅰ） ∵语文成绩服从正态分布，‎ ‎∴语文成绩特别优秀的概率为，‎ 数学成绩特别优秀的概率为，‎ 故语文特别优秀的同学有人，数学特别优秀的同学有人；‎ ‎（Ⅱ）∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为：，‎ ‎∴语文、数学两科都优秀的有人，单科优秀的有人，的所有可能取值为，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅲ）列联表：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎6‎ ‎6‎ ‎12‎ 数学不特别优秀 ‎4‎ ‎484‎ ‎488‎ 合计 ‎10‎ ‎490‎ ‎500‎ 由于，‎ ‎∴有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀．‎ ‎21. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 解：（1）令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故x02=4y0，①‎ 又|MF1|=，则y0+1=，②由①②解得x0=﹣，y0=椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF1|+|MF2|==4∴a=2，又c=1，∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C1的方程为．‎ ‎（2）∵直线l：y=k（x+t）与圆x2+（y+1）2=1相切∴=1，即k=‎ ‎（t≠0，t±1）‎ 把y=k（x+t）代入并整理得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2kt=‎ ‎∵=（x1+x2，y1+y2）∴P（，）‎ 又∵点P在椭圆上∴+=1∴λ2==（t≠0）∵t2＞0，t2≠1，∴＞1且≠3，∴0＜λ2＜4且λ2≠∴λ的取值范围为（﹣2，﹣）∪（﹣，0）∪（0，）∪（，2）‎ ‎23. 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； ‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立． ‎ 令h（x）=2﹣，x∈（0，），则h′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是，m（x）＞m（）=4﹣3ln3＞0，从而h（x）＞0，于是h（x）在（0，）上为增函数，‎ 所以h（x）＜h（）=2﹣3ln3，∴a的取值范围为[2﹣3ln3，+∞）．‎ ‎24. 解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴‎ 曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0．解得t1=﹣2，t2=6．∴||=|t1﹣t2|=8．‎ ‎ ‎