高考数学 17-18版 第9章 第43课 课时分层训练43
课时分层训练(四十三)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．
x＋y＋1＝0 [直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足的等量关系式为________．
a＝b [由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.
又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.]
3．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________．
[直线l可化简为：
x－y＋1＝0.
即y＝x＋，故斜率k＝.]
4．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
[由x＋(a2＋1)y＋1＝0得y＝－x－.
∵a2＋1≥1，∴－∈[－1,0)．
设直线的倾斜角为α，则－1≤tan α<0，
又α∈[0，π)，故≤α<π.]
5．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.
【导学号：62172237】
1 [由题意可知＝＝2，
解得a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.]
6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．
[－，0)∪ [∵k＝tan α，
∴当α∈时，tan ≤k≤tan ，即≤k≤1；
当α∈时，tan ≤k
0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
3＋2 [∵直线l过定点(1,2)，
∴＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当b＝a时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3＋2.]
二、解答题
11．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程．
[解] 若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，
直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，
由题意知解得
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＋y＝0或x－y＋4＝0.
12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 【导学号：62172239】
[解] (1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
∴直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是a≤－1.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
x＋y－5＝0 [由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为PA＝PB，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]
2．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
3 [直线AB的方程为＋＝1.
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝≤3，
即当P点坐标为时，xy取最大值3.]
3．已知曲线y＝，求曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
[解] y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x
＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得
解得k＞0.
∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
