2017-2018学年江苏省海安高级中学高二6月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年江苏省海安高级中学高二6月月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省海安高级中学高二6月月考数学（理）试题 一、填空题 ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则的值为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先求出复数的代数形式，再求即可．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的求法，考查学生的运算能力，属容易题．‎ ‎2．设z是复数，则下列命题中的假命题是____．(填序号)‎ ‎①若z2≥0，则z是实数；②若z2<0，则z是虚数；③若z是虚数，则z2≥0；④若z是纯虚数，则z2<0.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】分析：设，根据题意对四个命题逐一分析后可得结论．‎ 详解：设，‎ 对于①，则有，由z2≥0，得，故或．‎ 所以a＝0时b＝0或b＝0时a∈R．因此z是实数，故①为真命题．‎ 对于②，由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故②为真命题．‎ 对于③，由于，故③为假命题．‎ 对于④，由于z是纯虚数，所以，故④为真命题．‎ 点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的概念，解题的关键是准确理解复数的概念，并把复数的问题转化为实数的问题解决．‎ ‎3．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是，则数据3x1，3x2，…，3x100 的标准差为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：根据方差的定义并结合条件可求出数据3x1，3x2，…，3x100 的方差，然后再求标准差．‎ 详解：设数据x1，x2，…，x100的平均数为，则数据3x1，3x2，…，3x100 的平均数为 ‎．‎ 由题意得，‎ 设数据3x1，3x2，…，3x100 的方差为，则 ‎，‎ ‎∴数据3x1，3x2，…，3x100 的标准差为．‎ 点睛：若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2，解题时要注意这一结论的运用，正确理解系数对结果的影响．‎ ‎4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；‎ ‎【考点】1.程序框图；2.循环结构；‎ ‎5．随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据古典概型概率公式求解即可．‎ 详解：由题意得，从从1,2,3,4,5五个数中取两个数的所有可能情况有 ‎，共10种，其中取出的恰好都为偶数的情况只有一种，故所求概率为．‎ 点睛：求古典概型概率的关键一是对概率类型的判断；二是通过列举等方法得到所有的基本事件总数和事件A包含的基本事件的个数，然后再根据公式求解．‎ ‎6．设有1个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为6cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】硬币的直径为2 cm,所以半径为1 cm.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1 cm时,也就是硬币的圆心落在一个边长为4 cm的正方形内,硬币与格线没有公共交点,所以硬币与格线有公共点的概率为1-.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．‎ ‎7．从 个不同小球（其中个白球，1个黑球）中取出 个球共有种不同取法，还可换一个角度考虑：若取出个球全是白球，则有种不同取法，若取出个球中含有黑球，则有种不同取法，从而共有种不同取法．因此，可以得到组合恒等式：．请你运用类比推理的方法，可以得到排列恒等式： ____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：找到两类事物的相似性，然后根据类比推理的方法得到结论即可．‎ 详解：从 个不同小球（其中个白球，1个黑球）中取出 个球的所有排列数为共有种；换个个角度考虑，从不同的小球中取出个小球的排列数可分为两类：第一类，不取黑球，则不同的排列数为种；第二类，一定取黑球，由于黑球有个位置任其选择，则不同的排列数为种．由分类加法计数原理可得 ．‎ 点睛：类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．‎ ‎8．化简：____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据，然后各项相加后相消可得结果．‎ 详解：∵，‎ ‎∴．‎ 点睛：解题的关键是将式子中的每一项进行裂为两项的形式，然后相消可得结果，主要考查学生的变形能力和运算能力．‎ ‎9．的展开式中，无理数项的个数是____．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】分析：根据二项展开式的通项求先求得有理数的个数，然后可得无理数的个数．‎ 详解：展开式的通项为 ‎，‎ 当为整数且为整数时，为有理数，‎ 此时，共17项，‎ 所以无理数的个数为个．‎ 点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数，再代回通项公式即可．‎ ‎10．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是____．(用数字作答)‎ ‎【答案】590‎ ‎【解析】试题分析：法一、据题意，选派结果有以下三类：骨科1名、脑外科2名、内科2名，骨科2名、脑外科1名、内科2名，骨科2名、脑外科2名、内科1名，骨科3名、脑外科1名、内科1名，骨科1名、脑外科1名、内科3名，骨科1名、脑外科3名、内科1名.所以选派方法总数为：.‎ 法二、（排除法）由于每个科都未超过5人，那么将2个科合在一起，任选5人，则在这2个科中每个科都必有一人.另外由于每个科都未超过5人，那么从这11人中任选5人，不存在这5人同一科的情况，故选派种数为：.‎ ‎【考点】排列组合.‎ ‎11．已知公比不为1的等比数列中，，，且对任意正整数n都成立，且对任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，则满足题意的k的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设等比数列的公比为，则，从而得到 ‎，然后进行分类讨论，可求出所有k值．‎ 详解：设等比数列的公比为，则，‎ 所以．‎ ‎①若为等差中项，则，‎ 即，解得a=1，不合题意．‎ ‎②若为等差中项，则，‎ 即，化简得：，‎ 解得或(舍去)．‎ ‎∴． ‎ ‎③若为等差中项，则，‎ 即，化简得：，‎ 解得或(舍去)，‎ ‎∴‎ 综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，且．‎ 点睛：本题考查等比数列的基本运算，解题的关键是由“任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列”进行分类讨论，逐步求得结果．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知，是直线上的两点，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出点的坐标，然后利用两角和的正切公式求解即可．‎ 详解：‎ 由题意可得，点，是单位圆与直线的交点，‎ 由，解得或，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 同理，‎ ‎∴．‎ 点睛：解答本题的关键是结合题意，通过解方程组得到点A,B的坐标，进而可求得 ‎，然后根据两角和的正切公式求解．主要考查学生利用所学知识解决问题和计算能力．‎ ‎13．平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用数量积定义及其运算性质、基本不等式可得结果．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当且，即时等号成立．‎ 故的最大值为．‎ 点睛：本题考查平面向量基本定理及向量数量积的运算，解题的关键是由数量积得到间的关系，然后结合利用基本不等式求解可得所求的最大值．‎ ‎14．已知函数，，则最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．‎ 详解：①当x=0时，；‎ ‎②当x≠0时，由，‎ 令，由得，则，‎ 由于在上单调递减，所以 ，‎ 此时x＝，所以f(x)≤．‎ 故f(x)的最大值为．‎ 点睛：根据单调性和基本不等式求最值是求最值的常用方法，由于本题中函数的解析式较复杂，因此解题时需要作变形，并结合函数解析式的特点，利用换元的方法把原函数进行简化，然后利用单调性求出函数的最值，换元时要注意新元的范围．‎ 二、解答题 ‎15．如图，在多面体ABC—DEF中，若AB//DE，BC//EF．‎ ‎（1）求证：平面ABC//平面DEF；‎ ‎（2）已知是二面角C-AD-E的平面角．求证：平面ABC平面DABE．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意得AB//平面DEF，BC//平面DEF，利用面面平行的判定定理可得结论成立．（2）由二面角的定义可得，于是DA平面ABC，从而可得结论成立．‎ ‎ 详解：（1）因为AB//DE，AB平面DEF，DE平面DEF，‎ ‎ 所以AB//平面DEF， ‎ ‎ 同理BC//平面DEF，‎ ‎ 又因为，平面ABC，‎ ‎ 所以平面ABC//平面DEF．‎ ‎ （2）因为是二面角C-AD-E的平面角，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 又因为，平面ABC，‎ ‎ 所以DA平面ABC， ‎ ‎ 又DA平面DABE，‎ ‎ 所以平面ABC平面DABE.‎ 点睛：本题考查空间位置关系的证明，解题时要结合图形进行分析，找到证明结论时需要的条件，然后根据相应的定理、性质等进行推理证明即可．‎ ‎16．（题文）己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且 ‎(I )求角大小；‎ ‎(II)当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以 ‎（2）由正弦定理，得，‎ 由得 ‎ ‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用锐角△ABC中，sinC=，求出角C的大小；（II）先求得 B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据 a2+b2=4+2sin（2A﹣60°） 及A的范围，得（2A﹣60°），从而得到a2+b2的范围．‎ 详解：（I）由已知及余弦定理，得tanC===，‎ ‎∴sinC=，故锐角C=．‎ ‎（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°﹣A．由题意得，‎ ‎∴60°＜A＜90°．由 =2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），‎ ‎∴a2+b2=4[sin2A+sin2（A+30°）]=4[+]=4[1﹣cos2A﹣（cosA﹣sin2A）]=4+2sin（2A﹣60°）．‎ ‎∵60°＜A＜90°，∴（2A﹣60°）．‎ ‎∴7＜a2+b2≤4+2．‎ 点睛：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，三角在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎17．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆： （，且）.‎ ‎（1）设为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆与圆的一条切线，切点分别为、，使得，试求出所有满足条件的点的坐标；‎ ‎（2）若斜率为正数的直线平分圆，求证：直线与圆总相交.‎ ‎【答案】（1）或（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）设点的坐标为，根据切线长定理可得，又为坐标轴上的点，由此可得所求．（2）由题意可设直线的方程为，即．问题等价于圆心到直线的距离小于半径，即 ，分析可得，由可得，从而得结论成立．‎ 详解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，‎ 由题意得，‎ 即 化简得， ‎ 因为为坐标轴上的点，‎ 所以点的坐标为或. ‎ ‎（2）依题意知直线过圆的圆心，可设直线的方程为，即， ‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 又圆的半径为， ‎ ‎“直线与圆总相交”等价于“且， ”，‎ 即 ①，‎ 记，整理得，‎ 当时，得；‎ 当时，由判别式，‎ 解得；‎ 综上得，的最小值为1， ‎ 所以由①可得，解得．‎ 故直线与圆总相交．‎ 点睛：本题考查直线和圆的位置关系和学生的运算能力．解答本题（2）时要注意方法的选择，由于运算量较大，解题时可根据等价转化的方法、通过逐步的分析，得到结论成立时所需要的条件，从而达到解题的目的．‎ ‎18．设，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两项，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）求展开式中系数绝对值最大的项.‎ ‎【答案】1）（2）（3），‎ ‎【解析】分析：由题意得到．（1）运用赋值法求解．（2）将两边求导后再用赋值法求解．（3）由题意列出不等式组，解不等式组后可得所求项．‎ 详解：∵展开式中二项式系数最大的是四、五两项，‎ ‎∴展开式中有8项，故，‎ ‎∴展开式的通项为，‎ ‎（1）由展开式通项可得，‎ 在中，‎ 令，得，‎ 令，得，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ 两边求导得,‎ 又展开式的通项为，‎ ‎∴，‎ 令，得，‎ 即．‎ ‎（3）展开式的通项为，‎ 故展开式中项的系数的绝对值为，‎ 假设第r项的系数绝对值最大，则，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎∴或，‎ 故第2项和第3项的系数绝对值最大，且 ‎．‎ 点睛：（1）与二项式系数和或项的系数和有关的问题，常用的解法时赋值法，通过对变量取特殊的值达到去掉字母的目的，进而得到所求的和．‎ ‎（2）求系数最大的项时，要注意构造不等式组，解不等式组得到的取值后再求相关的项．‎ ‎19．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(01.18，‎ 整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，‎ 解得－0.4

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