数学理卷·2018届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）（2018

数学理卷·2018届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）（2018

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科） 2018.4‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合，，且，则可以是 ‎ (A) (B)0 (C)l (D)2‎ ‎(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b=‎ ‎(A)（，2） (B)（，4） ‎ ‎(C)(1，2) (D) (1，4）‎ ‎ (3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ‎ (A)2 (B)6‎ ‎ (C)8 (D) 10‎ ‎(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ‎ (A)1 (B)2‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎ ‎ ‎（5）已知，为正实数，则“，”是“”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转 ‎ 动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面 ‎ 上的投影的面积记作，则的值不可能是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（7）下列函数中，其图像上任意一点的坐标都满足条件的函数是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（8）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是 ‎(A) 的取值范围为 ‎ (B ) 取值范围为 ‎ (C) 的取值范围为 ‎ (D)若，则实数的取值范围为 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎(9)复数 .‎ ‎( 10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为 .‎ ‎( 11)直线 （为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为 .‎ ‎( 12)在中，若，，，则 ， .‎ ‎ (13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有 种不同的站队方法．‎ ‎ ( 14)设函数．‎ ‎ ①若有两个零点，则实数的取值范围是 ；‎ ‎ ②若，则满足的的取值范围是 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎( 15)（本小题13分）‎ ‎ 已知．‎ ‎ (I)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调递增区间．‎ ‎ ( 16)（本小题13分）‎ ‎ 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度 ‎ 第一季度 ‎ 第二季度 ‎ 第三季度 ‎ 第四季度 ‎ 1月 ‎ 2月 ‎ 3月 ‎ 4月 ‎ 5月 ‎ 6月 ‎ 7月 ‎ 8月 ‎ 9月 ‎ 10月 ‎ 11月 ‎ 12月 ‎ 甲地 ‎54%‎ ‎39%‎ ‎46%‎ ‎54%‎ ‎56%‎ ‎67%‎ ‎64%‎ ‎66%‎ ‎78%‎ ‎72%‎ ‎72%‎ ‎59%‎ ‎ 乙地 ‎38%‎ ‎34%‎ ‎31%‎ ‎42%‎ ‎54%‎ ‎66%‎ ‎69%‎ ‎65%‎ ‎62%‎ ‎70%‎ a%‎ b%‎ ‎(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 ‎ 和传播的概率；‎ ‎(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空 ‎ 气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ)若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．（只需写出结论）‎ ‎( 17)（本小题14分）‎ ‎ 已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：‎ ‎ (I)证明：平面平面;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的余弦值；‎ ‎ (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，‎ 求的取值范围．‎ ‎(18)（本小题13分）‎ 已知函数 ‎(I)当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.‎ ‎ ‎ ‎( 19)（本小题14分）‎ ‎ 已知椭圆（）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点．‎ ‎ (I)求椭圆的标准方程；‎ ‎ (Ⅱ)判断的值是否为定值，并证明你的结论．‎ ‎( 20)（本小题13分）‎ ‎ 设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且．‎ ‎ 若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，‎ ‎ 对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．‎ (I) 判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；‎ ‎，‎ ‎ (Ⅱ)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；‎ ‎ (Ⅲ)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数学(理)参考答案与评分标准 2018.4‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A D B A D D B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎2‎ ‎ ‎ ‎48‎ ‎ ‎ 注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。‎ ‎15. （本题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 3分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 因为函数的单调递增区间为（），‎ 令（），‎ 解得 （），‎ 故的单调递增区间为（） 13分 ‎16. （本题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用表示事件抽取的月份为第月，则 ‎ 共12个基本事件， ‎ ‎ 共6个基本事件， ‎ ‎ 所以，. 4分 ‎（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，，. ‎ ‎ ，，‎ ‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（Ⅲ）的最大值为，最小值为. 13分 ‎17.（本题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）方法1：‎ 设的中点为，连接，. 由题意 ‎ ，，‎ ‎ 因为 在中，，为的中点 所以 ， ‎ 因为 在中，，，‎ 所以 ‎ 因为 ，平面 ‎ 所以 平面 因为 平面 4分 所以 平面平面 方法2：‎ 设的中点为，连接，. ‎ 因为 在中，，为的中点 所以 ， ‎ 因为 ，，‎ ‎ 所以 ≌≌‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 因为 ，平面 ‎ 所以 平面 因为 平面 4分 所以 平面平面 方法3：‎ 设的中点为，连接，因为在中，， ‎ 所以 ‎ 设的中点， 连接，及.‎ 因为 在中，，为的中点 所以 .‎ 因为 在中，，为的中点 所以 .‎ 因为 ，平面 所以 平面 因为 平面 所以 ‎ 因为 ，平面 ‎ 所以 平面 因为 平面 4分 所以 平面平面 ‎（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则 ‎，，，， ‎ 由平面，故平面的法向量为 ‎ 由，‎ 设平面的法向量为，则 由得：‎ 令，得，，即 ‎ ‎ ‎ 由二面角是锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为 9分 ‎（Ⅲ）设，，则 令 得 ‎ 即，μ是关于λ的单调递增函数， ‎ 当时，，‎ 所以 14分 ‎ 18. （本题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎ 故 ‎ ‎ 令，得 ‎ 故的单调递增区间为 4分 ‎（Ⅱ）方法1： ‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ ‎ 由， ‎ ‎ 故存在，‎ ‎ 故当时，；当时，‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 故 ‎ ‎ 故，解得 13分 ‎ 故的值为.‎ ‎（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在 ，使得， ‎ 等价于的最大值为.‎ ‎， ‎ 令，得.‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 故的最大值为，即. 13分 ‎（19）（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）由题意， ‎ 解得：，，‎ ‎ 故椭圆的标准方程为 5分 ‎（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.‎ ‎ 联立方程，得，‎ ‎ 此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.‎ 故直线TP和TQ的斜率存在.‎ 方法1：‎ 设，，则 直线，‎ 直线 故， ‎ ‎ 由直线，设直线（）‎ 联立方程， ‎ 当时，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 14分 方法2：‎ 设，，直线和的斜率分别为和 ‎ 由，设直线（）‎ 联立方程， ‎ 当时，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故直线和直线的斜率和为零 故 故 ‎ 故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2‎ 故 14分 ‎20. （本题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”. 3分 ‎（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，‎ ‎ ① 若，则；‎ ‎ ② 若，则 ；‎ ‎③ 若，，则一方面 ‎，‎ ‎ 另一方面 ‎；‎ 矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的. 8分 ‎（Ⅲ）方法1：‎ 对任意的由，，，…，组成的行列的数表.‎ 定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即 ‎（其中，）‎ 显然有：‎ ‎① 数表是由，，，…，组成的行列的数表 ‎② 数表的第行的元素，即为数表的第列的元素 ‎ ‎③ 数表的第列的元素，即为数表的第行的元素 ‎④ 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 ‎ 则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.‎ 定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即 ‎（其中，）‎ 显然有 ‎① 数表是由，，，…，组成的行列的数表 ‎② 若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值 ‎ 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值 特别地，对由，，，…，组成的行列的数表 ‎① 数表是由，，，…，组成的行列的数表 ‎② 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 ‎ 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值 即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.‎ 记，则，即数表与数表的“值”之和为，‎ 故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的 “值”之和为，‎ 故的数学期望. 13分 方法2：‎ 所有可能的取值为.‎ 记中使得的数表的个数记作，，则 ‎.‎ ‎ 则，则 ‎，‎ 故，. 13分