开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试（五）数学文科试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试（五）‎ 数学（文科）‎ 时量：120分钟满分：150分 ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解对数型函数定义域和一元二次不等式，解得，再通过交运算和补运算求得结果.‎ ‎【详解】由得，所以；‎ 由得或，所以或.‎ 所以或，‎ 则或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.‎ ‎2.已知复数，，则（ ）.‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则，整理化简即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算法则，属基础题.‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）.‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”的否定是“，”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否定题和逆否命题的定义，结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断，结合选项，进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，故A错误；‎ 方程的解是或6，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；‎ 命题“，”的否定是“，”，故C错误；‎ 命题“若，则”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的否命题和逆否命题的求解，涉及命题充分性和必要性的讨论，属综合基础题.‎ - 25 -‎ ‎4.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．‎ ‎【详解】当x<0时，f（x）0．排除AC，‎ f′（x），令g(x)‎ g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，‎ 当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，‎ 存在，使得g()=0，‎ 且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，‎ 当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，‎ ‎∴B不正确，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．‎ - 25 -‎ ‎5.设，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算、指数函数的性质，利用和进行分段，由此比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎6.在数列中，，，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过赋值，利用累加法，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，‎ 以上各式累加得，‎ - 25 -‎ 即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.‎ ‎7.如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用向量的夹角公式，计算出异面直线与夹角的余弦值，由此求得异面直线与所成的角.‎ ‎【详解】由于在等腰三角形与中，，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，所以.依题意设，由于是等腰直角三角形斜边的中点，所以.设异面直线与所成的角为，则 - 25 -‎ ‎，由于，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知函数，则（ ）.‎ A. 的最小正周期是，最小值为1 B. 的最小正周期是，最小值为 C. 的最小正周期是，最小值为1 D. 的最小正周期是，最小值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期的定义，即可判断周期性；利用二倍角公式化简函数为二次型三角函数，即可求得函数最值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以不是的周期，故排除A，B；‎ 因为，‎ 所以是的一个周期；‎ 又因为，‎ 因为，‎ 所以当时，有最小值.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数周期的定义，涉及二次型正弦函数最值得求解，以及余弦的二倍角公式，属综合中档题.‎ - 25 -‎ ‎9.等比数列中，，，函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对多项式函数进行求导，即可求得结果.‎ ‎【详解】设，则，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查多项式函数的导数求解，属中档题.‎ ‎10.已知内角对应边长分别是，且，，，则的值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，作的角平分线与交于点，根据余弦定理得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：作的角平分线与交于点 ‎ 则 ，设，则，分别利用余弦定理得到：‎ ‎ ，‎ - 25 -‎ 故， ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力.‎ ‎11.已知是边长为1的等边三角形，若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于的二次不等式恒成立的问题，由，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，‎ 由两边平方得，‎ - 25 -‎ 即，构造函数，‎ 由题意，，‎ 解得或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.‎ ‎12.已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和的条件，建立的关系式，进而求椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为 联立直线与椭圆方程 消后，化简可得 ‎ 因为直线交椭圆于A，B，设 ‎ 由韦达定理可得 且，可得，代入韦达定理表达式可得 - 25 -‎ 即 化简可得 所以 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后经过点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，可得旋转后角度的正切值，利用正切的和角公式即可求得结果.‎ ‎【详解】设旋转后对应的角为，则，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，以及正切的和角公式，属综合基础题.‎ ‎14.谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle - 25 -‎ ‎）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是：先取一个实心正三角形（图1），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）（图2），然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”（图3），我们用黑色三角形代表剩下的面积，用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在图中随机选取一个点，则此点取自黑色三角形的概率为__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形相似容易知黑色三角形面积与最大三角形面积之比，根据几何概型的概率计算公式，即可求得.‎ ‎【详解】由图可知，操作次数为时，黑色三角形的面积与最大三角形的面积之比为.‎ 当时，概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.‎ ‎15.已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，为坐标原点，当的面积取到最大值时，双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到渐近线的距离即可求得，利用均值不等式求得的面积取得最大值时对应的取值即可求得离心率.‎ ‎【详解】由题意，，‎ 易得点到直线的距离为，‎ 所以，‎ 则的面积，‎ 当的面积取到最大值时，，‎ - 25 -‎ 所以双曲线是等轴双曲线，离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及利用均值不等式求最值，属中档题.‎ ‎16.函数，对于，都有，则实数的取值范围是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用函数的奇偶性和单调性，转化得出，分别作出函数，和，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，在为单调递增，‎ 且，，即，即 ‎①作出与的图象，直线作为曲线切线可求得，‎ 当时，；‎ ‎②作出与的图象，时，，‎ 故，‎ 综上可得.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为，利用函数，和，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求满足的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推公式，借助下标缩1，即可求得数列；‎ ‎（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，解不等式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，，①‎ 所以当时，.‎ 当时，，②‎ ‎①②两式相减，整理得，‎ - 25 -‎ 显然也满足上式.‎ 所以的通项公式是.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以，‎ 不等式，即，‎ 整理得，所以，.‎ 所以满足不等式的的取值范围是，.‎ ‎【点睛】本题考查利用递推公式求数列通项公式，以及利用裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.‎ ‎18.如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ，，， 且，，‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的三等分点，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；‎ - 25 -‎ ‎（2）法一，利用等积转换即，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解法一：取的三等分点，连结，则 又因为，所以且， ‎ 因为且，所以且，‎ 四边形是平行四边形， ‎ 所以，‎ 又平面平面 ，平面 ，‎ 所以平面 .‎ 解法二：取的三等分点，连结，则，‎ 又因为，‎ 所以且，平面 ， 平面，‎ 平面，‎ 因为且，所以且，‎ 四边形是平行四边形.‎ 所以，平面，平面，‎ 平面，‎ - 25 -‎ 又因为，平面，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面.‎ ‎(2)解法一：设点到平面的距离为.‎ 因为，，所以，‎ 所以，，因为，所以平面，‎ 点平面的距离是，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 点到平面的距离为.‎ 解法二：设点到平面的距离为.‎ 因为，，所以 所以，，因为，所以平面，‎ 分别以为轴轴轴，建立空间坐标系，‎ ‎’，‎ 设平面法向量，‎ 因为，所以，‎ 设与平面所成角为， 则 ‎ - 25 -‎ 点到平面的距离，‎ 点到平面的距离为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题.‎ ‎19.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为.‎ ‎（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：‎ 选化学 不选化学 合计（人数）‎ 选物理 不选物理 合计（人数）‎ ‎（2）根据第（1）问的数据，能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关？‎ ‎（3）若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？（单位：千人；精确到0.001）‎ 附：.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）列联表详见解析（2）有99%把握认为选择化学与选择物理有关（3）至少有11.943千人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，即可求得表格中缺失的数据；‎ ‎（2）结合列联表，计算，即可进行判断；‎ ‎（3）设选物理又选化学的人数为千人，据此重新求得列联表，以及，根据其大于等于，即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 选化学 不选化学 合计（人数）‎ 选物理 ‎150‎ ‎100‎ ‎250‎ 不选物理 ‎50‎ ‎200‎ ‎250‎ 合计（人数）‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎（2）由列联表可知，‎ 所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关.‎ ‎（3）设选物理又选化学的人数为千人，则列联表如下：‎ 选化学 不选化学 合计（人数）‎ 选物理 不选物理 合计（人数）‎ - 25 -‎ 所以，‎ 在犯错误概率不超过0.01的前提下，则，即，解得（千人），所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.‎ ‎【点睛】本题考查根据题意补全列联表，的计算，以及由犯错误的概率计算参数的范围，属综合中档题.‎ ‎20.已知函数，，.‎ ‎（1）若曲线在点的切线经过点，求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的零点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）有且只有一个零点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，可得含参数的切线方程，根据切线过点的坐标满足切线方程，即可求得；‎ ‎（2）求求导，利用导数研究函数单调性，同时对参数进行分类讨论，即可得到的零点个数.‎ ‎【详解】（1）由题知切点，又由得，‎ 所以切线的斜率，切线方程为，‎ 把点代入切线方程，‎ 解得.‎ ‎（2），定义域，‎ 所以.‎ ‎①当时，，有在恒成立，‎ - 25 -‎ 在上单调递减，‎ 此时，其中，，‎ 所以函数有且只有一个零点.‎ ‎②当时，易知当时，有，单调递增；‎ 当或时，有，单调递减.‎ 其中，‎ 令解得或（舍去），‎ 所以，‎ 所以函数有且只有一个零点.‎ 综上所述，当时，函数有且只有一个零点.‎ ‎【点睛】本题考查导数的及意义，以及利用导数研究函数零点个数的问题，涉及分类讨论，属综合中档题.‎ ‎21.在平面直角坐标系中，一个动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交曲线于，两点，问曲线上是否存在一个定点，使得点在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在；定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；‎ ‎（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，即可恒成立问题，即可求得点坐标.‎ ‎【详解】（1）由题意，圆心到点的距离与到直线的距离相等，‎ - 25 -‎ 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是.‎ ‎（2）因为过点的直线交曲线于，两点，‎ 所以可设直线方程为，，，‎ 由整理得，‎ ‎，，，‎ 假设存在定点满足题意，显然且，‎ 则，即.‎ 因为，，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为且，所以，‎ 即，‎ 所以，即，‎ 上式要恒成立，所以，即定点.‎ 综上所述，存在定点满足题意.‎ ‎【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，以及抛物线中定点的寻求，属综合中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 - 25 -‎ ‎.‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式，，即可求得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得，代值计算即可.‎ ‎【详解】（1）由（为参数，），得 当时，直线的普通方程是，其极坐标方程为和；‎ 当时，消去参数得，直线过原点、倾斜角为，‎ 其极坐标方程为和.‎ 综上所述，直线的极坐标方程为和，‎ 也可以写成.‎ 由，得，‎ 又因为，，‎ 所以，整理得.‎ ‎（2）设，，‎ - 25 -‎ 解方程组，得，即；‎ 解方程组，得，即.‎ 所以，‎ 又已知，所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐标求解距离问题，属综合中档题.‎ ‎23.已知，且.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）证明：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由柯西不等式得（）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，即可得出结论． ‎ ‎（2）将代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论.‎ ‎【详解】（1）（）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，‎ 所以≤，‎ 当且仅当取“=”.所以，的最大值为 ‎ ‎（2）‎ - 25 -‎ 当且仅当取“=”‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．‎ - 25 -‎ - 25 -‎