2017-2018学年浙江省台州书生中学高二下学期起始考数学试题（解析版）

2017-2018学年浙江省台州书生中学高二下学期起始考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年浙江省台州书生中学高二下学期起始考数学试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）‎ ‎1. 函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（　　）‎ A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. {x∈R|x≠1} D. R ‎【答案】A ‎【解析】要使函数的解析式有意义，自变量须满足：，解得故函数的定义域是，故选A．‎ ‎2. 设集合A={1，2，3，4，5}，B={y|y=2x,},则AB=( )‎ A. {1,2,3,4,5} B. {1,2,3,4,5,6,8,10} C. {2,4} D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ，所以，故选C.‎ ‎3. 已知数列{an}是等比数列，若a2=2，a3=﹣4，则a5等于（　　）‎ A. 8 B. ﹣8 C. 16 D. ﹣16‎ ‎【答案】D ‎【解析】设是等比数列的公比为，，由，得，则， 故选D．‎ ‎4. 已知cosα=﹣，且α是钝角，则tanα等于（　　）‎ A. B. C. ﹣ D. ﹣‎ ‎【答案】C ‎5. 设a,则a=1是直线与直线垂直的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由两直线垂直等价于，即或，所以是直线与直线 垂直的是充分不必要条件，故选A.‎ ‎6. 若正方形ABCD的边长为1，则等于（　　）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由向量的三角形法则,则,‎ 又,则.故本题答案选B.‎ 考点：1.向量的三角开法则；2.向量的数量积.‎ ‎7. 函数y=sin(2x+ )的图像可由函数y=sin2x的图像经过平移而得到，这一平移过程可以是（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. .向右平移个单位 C. .向左平移个单位 D. .向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象通过向左平移而得到函数，就是函数的图象，故选A.‎ ‎8. 双曲线x2﹣=1的离心率是（　　）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，故离心率，应选答案D。‎ ‎9. 在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A. 若m∥α且α∥β，则m∥β B. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n C. 若m⊥α且α∥β，则m⊥β D. 若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n ‎【答案】C ‎【解析】因为为两条不同直线，为两个不同平面，在中，若且，则或，故错误；在中，若，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若且 ‎，则由线面垂直的判定定理得，故正确；在中，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故错误，‎ 故选C．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎10. 已知 且那么等于（ ）‎ A. -26 B. -18 C. -10 D. -8‎ ‎【答案】A ‎【解析】，构造函数，则为奇函数，，，‎ ‎，故选A.‎ ‎11. 已知a，b∈R，则使不等式|a+b|＜|a|+|b|一定成立的条件是（　　）‎ A. a+b＞0 B. a+b＜0 C. ab＞0 D. ab＜0‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D。‎ ‎12. 在正三棱锥S﹣ABC中，异面直线SA与BC所成角的大小为（　　）‎ A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取中点，连结，∵在正三棱锥中， ，‎ 平面平面异面直线与 所成角的大小为，故选C．‎ ‎13. 直线xcosθ+ysinθ=1与圆x2+y2=1的位置关系是（　　）‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 以上都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，∴直线与圆的位置关系是相切，故选A．‎ ‎14. 已知平面向量 满足 且向量与向量的夹角为，则=（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 且向量与向量的夹角为，所以 ，即有，即，即为，又，即，可得，故选B.‎ ‎15. 若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过棱锥顶点作平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，，在中，，解得，棱锥的体积，故选B.‎ ‎16. 已知实数x，y满足，则x+3y的最小值是（　　）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，代入目标函数得， 即的最小值为，故选B．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎17. 设函数f（x）=若不等式f（x﹣1）+f（）＞0对任意x＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. （，） B. （0，） C. （，+∞） D. （1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，设，则，则 ，设，则，则 ‎ ‎，‎ ‎∴函数为定义域上的奇函数，其图象如图，由图可知，函数为定义域上的增函数，‎ 由对任意恒成立，得对任意恒成立，即对任意恒成立，对任意恒成立，‎ ‎（当时取等号），，实数的取值范围是 ，故选C．‎ ‎18. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（　　）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，，设 ， ，‎ ‎，即，‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当时取等号，所以 ，故选A．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）‎ ‎19. 设函数，则_______，方程的解为_______。‎ ‎【答案】 (1). {x|0＜x＜2} (2). {x|x＜2}‎ ‎【解析】， 方程，当时，，解得；当时，，解得或（舍去），或，故答案为 或 .‎ ‎【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解方程，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值；解方程时，也是分两种情况讨论，从而得到结果.‎ ‎20. 已知向量=（1，2），=（﹣2，t），若∥，则实数t的值是______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】因为，由，可得，解得，故答案为.‎ ‎21. 如图所示， 是双曲线C:的左，右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左，右两支分别交于A,B两点。若,则双曲线的离心率e=_________。‎ ‎【答案】an=n+1‎ ‎【解析】试题分析：由，令，则由得．由知，为直角三角形，即，则 ‎，所以，解得，故．‎ 考点：双曲线离心率．‎ ‎【思路点睛】由，令，根据双曲线的定义可得得，由题意可知为直角三角形，再利用勾股定理可求得，从而可求，进而可求得双曲线的离心率．‎ ‎22. 已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，C﹣B=，则c﹣b的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题（本大题共4小题，共31分）‎ ‎23. 已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅲ）求函数g（x）=f（x+）+f（x+）的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）2π；（Ⅲ）-2.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用条件求得的值；（Ⅱ）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，可得函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）由条件利用两角和的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得g（x）取得最小值 试题解析：（Ⅰ）由题意得；‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以函数的最小正周期为；‎ ‎（Ⅲ）因为=‎ ‎，‎ 所以当时，函数的最小值为.‎ 考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值 ‎24. 如图，在四面体A-BCD中，AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.‎ ‎(I)证明：PQ//平面BCD;‎ ‎(II)若异面直线PQ与CD所成的角为，二面角C-BM-D的大小为，求cos的值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连并延长交于，连过作交于，由三角形中位线定理以及全等三角形的性质可得 ，结合条件推导出，由此能证明平面；（2）过作于，作于，连，可证明 平面 ，可得，即为二面角的平面角，由直角三角形的性质可求出的值.‎ 试题解析：（1）证明：如图，连AP并延长交BD于E，连CE，‎ 过M作MN∥BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE．‎ 故AP=3PE，从而PQ∥CE．‎ 因PQ⊄平面BCD，CE⊂平面BCD，‎ 故PQ∥平面BCD．‎ ‎（2）解：过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．‎ 因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，‎ 故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，‎ 所以∠CRF=θ即为二面角C﹣BM﹣D的平面角．‎ 因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即为∠BCD的角平分线．‎ 由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，‎ 从而BC=1，．‎ 由题意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．‎ 由题意知，故．‎ 所以=，从而．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角及其平面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎25. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得，，解出求出、的值即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）由题意得点，设直线方程为，将直线 ‎，代入椭圆方程得到，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出的值，从而可求得直线方程．‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意得=， +=1，a2=b2+c2．‎ 解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1．‎ ‎（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），‎ 设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），‎ 由3+=，得3y1+y2=0，‎ ‎ y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）‎ 将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，‎ ‎∴直线l的方程为：y=±（x﹣2）．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎26. 设a∈R，函数f（x）=|x2+ax|‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a≥0或a≤﹣2；（Ⅱ）3-2.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解；（Ⅱ）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤-2时，-2＜a≤2-，a＞2-‎ ‎，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值 试题解析：（Ⅰ）考虑函数的图像，可知 ‎①当时，在上，，显然在上单调递增；‎ ‎②当时，在上，，‎ 故在上单调递增的充要条件是，即.‎ 所以在上单调递增的充要条件是或；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ），当或时，在上单调递增，‎ 则；‎ 当时，，‎ 解，得，‎ 故当时，‎ 综上，，‎ 于是的最小值为.‎ 考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明