2020高中数学 第一章二项式定理

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2020高中数学 第一章二项式定理

‎1.3.1 ‎二项式定理 学习目标:1.能用计数原理证明二项式定理.(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题.(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.二项式定理 ‎(a+b)n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).‎ ‎(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理.‎ ‎(2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,展开式中一共有n+1项.‎ ‎(3)二项式系数:各项的系数C(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.‎ ‎2.二项展开式的通项公式 ‎(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项,记作Tk+1=Can-kbk.‎ 思考1:二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?‎ ‎[提示] 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项式系数是指C,C,…,C,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.‎ 思考2:二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同?‎ ‎[提示] 不同.(a+b)n展开式中第k+1项为Can-kbk,而(b+a)n展开式中第k+1项为Cbn-kak.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)(a+b)n展开式中共有n项. (  )‎ ‎(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响. (  )‎ ‎(3)Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k项. (  )‎ ‎(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同. (  )‎ ‎[解析] (1)× 因为(a+b)n展开式中共有n+1项.‎ ‎(2)× 因为二项式的第k+1项Can-kbk和(b+a)n的展开式的第k+1项Cbn-kak是不同的,其中的a,b是不能随便交换的.‎ ‎(3)× 因为Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k+1项.‎ ‎(4)√ 因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(x+1)n的展开式共有11项,则n等于(  )‎ ‎ 【导学号:95032072】‎ A.9         B.10‎ 7‎ C.11 D.12‎ B [由二项式定理的公式特征可知n=10.]‎ ‎3.(y-2x)8展开式中的第6项的二项式系数为(  )‎ A.C B.C(-2)5‎ C.C D.C(-2)6‎ C [由题意可知:Tk+1=Cy8-k(-2x)k=C·(-2)kxky8-k 当k=5时,二项式系数为C.]‎ ‎4.化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=________. ‎ ‎【导学号:95032073】‎ x4 [(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1‎ ‎=[(x-1)+1]4=x4]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 二项式定理的正用和逆用 ‎ (1)求的展开式.‎ ‎(2)化简:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC.‎ ‎[思路探究] (1)解答本题先将看成a,-看成b,利用二项式定理展开,也可以先将化简后再展开.(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.‎ ‎[解] (1)法一:=C()4-C()3·+C()2·-C·+C=x2-2x+-+.‎ 法二:==(2x-1)4‎ ‎=(16x4-32x3+24x2-8x+1)‎ ‎=x2-2x+-+.‎ ‎(2)原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.‎ 7‎ ‎[规律方法]  二项式定理的双向功能 ‎(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.‎ ‎(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(1)求二项式的展开式;‎ ‎(2)化简(x-2)5+5(x-2)4+10(x-2)3+10(x-2)2+5(x-2).‎ ‎[解] (1) ‎=C(3)4+C(3)3+C(3)2+C(3)+C ‎=81x2-108x+54-+.‎ ‎(2)原式=C(x-2)5+C(x-2)4+C(x-2)3+C(x-2)2+C(x-2)+C(x-2)0-1‎ ‎=[(x-2)+1]5-1=(x-1)5-1.‎ 二项展开式通项的应用 ‎ 已知二项式 ‎(1)求展开式第4项的二项式系数,‎ ‎(2)求展开式第4项的系数,‎ ‎(3)求第4项. ‎ ‎【导学号:95032074】‎ ‎[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项 ‎[解] 由已知得的展开式的通项是 Tk+1=C(2)6-k=C26-k(-1)k·x (k=0,1,2,…,6)‎ ‎(1)展开式第4项的二项式系数为C=20.‎ ‎(2)展开式第4项的系数为C·23·(-1)3=-160.‎ 7‎ ‎(3)展开式的第4项为T4=-160x.‎ ‎[规律方法] (1)二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.‎ ‎(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4=C17-3(2x)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C23=280.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.‎ ‎[解] (1)因为T3=C()n-2=‎4Cx,T2=C()n-1=-‎2Cx,依题意得‎4C+‎2C=162,所以‎2C+C=81,所以n2=81,n=9.‎ ‎(2)设第k+1项含x3项,则Tk+1=C()9-k=(-2)kCx,所以=3,k=1,‎ 所以第二项为含x3的项:‎ T2=-‎2Cx3=-18x3.‎ 二项式系数为C=9.‎ 求展开式中的特定项 ‎[探究问题]‎ ‎1.如何求展开式中的常数项.‎ ‎[提示] 利用二项展开式的通项Cx4-k·=Cx4-2k求解,令4-2k=0,则k=2,所以展开式中的常数项为C==6.‎ ‎2.(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?‎ ‎[提示] (a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.‎ 7‎ ‎3.如何求(2x+1)3展开式中含x的项?‎ ‎[提示] (2x+1)3展开式中含x的项是由x+中的x与分别与(2x+1)3展开式中常数项C=1及x2项C22x2=12x2分别相乘再把积相加得x·C+·C(2x)2=x+12x=13x.即(2x+1)3展开式中含x的项为13x.‎ ‎ 已知在的展开式中,第6项为常数项.‎ ‎(1)求n;‎ ‎(2)求含x2项的系数;‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项. ‎ ‎【导学号:95032075】‎ ‎[思路探究] → ‎→→→ ‎→→ ‎→ ‎[解] 通项公式为:‎ Tr+1=Cx (-3)rx=C(-3)rx.‎ ‎(1)∵第6项为常数项,‎ ‎∴r=5时,有=0,即n=10.‎ ‎(2)令=2,得r=(10-6)=2,‎ ‎∴所求的系数为C(-3)2=405.‎ ‎(3)由题意得,令=k(k∈Z),‎ 则10-2r=3k,即r=5-k.‎ ‎∵r∈Z,∴k应为偶数,‎ k=2,0,-2,即r=2,5,8,‎ 所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C(-3)2x2,C(-3)5,C(-3)8x-2.‎ 即405x2,-61 236,295 245x-2.‎ 7‎ ‎[规律方法]‎ ‎1.求二项展开式的特定项的常见题型 ‎(1)求第k项,Tk=Can-k+1bk-1;‎ ‎(2)求含xk的项(或xpyq的项);‎ ‎(3)求常数项;‎ ‎(4)求有理项.‎ ‎2.求二项展开式的特定项的常用方法 ‎(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);‎ ‎(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;‎ ‎(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是________.‎ ‎(2)若展开式的常数项为60,则常数a的值为________.‎ ‎(1)207 (2)4 [(1)x5应是(1+x)10中含x5项、含x2项分别与1,-x3相乘的结果,‎ ‎∴其系数为C+C(-1)=207.‎ ‎(2)的展开式的通项是Tk+1=Cx6-k·‎ ‎(-)kx-2k=Cx6-3k(-)k,令6-3k=0,得k=2,即当k=2时,Tk+1为常数项,即常数项是Ca,‎ 根据已知得Ca=60,解得a=4.]‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.(x-)10展开式中x6项的二项式系数为(  )‎ A.-C        B.C C.-‎4C D.‎4C B [含x6项为展开式中第五项,所以二项式系数为C.]‎ ‎2.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(  )‎ ‎ 【导学号:95032076】‎ A.80 B.40‎ C.20 D.10‎ B [(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=C(2x)r=2rC·xr,‎ 7‎ 令r=2,得22×C=4×10=40,故选B.]‎ ‎3.在的展开式中,中间项是________.‎ ‎-160x3 [由n=6知中间一项是第4项,‎ 因为T4=C(2x2)3·=C·(-1)3·23·x3,‎ 所以T4=-160x3.]‎ ‎4.在的展开式中,第4项的二项式系数是________,第4项的系数是________.‎ ‎84 - [Tk+1=C·(x2)9-k·=·C·x18-3k,当k=3时,T4=·C·x9=-x9,所以第4项的二项式系数为C=84,项的系数为-.]‎ ‎5.求的展开式的第三项的系数和常数项. ‎ ‎【导学号:95032077】‎ ‎[解] T3=C(x3)3=C·x5,所以第三项的系数为C·=.‎ 通项Tk+1=C(x3)5-k=·Cx15-5k,令15-5k=0,得k=3,所以常数项为T4=C(x3)2·=.‎ 7‎
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