宁夏平罗中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题

宁夏平罗中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题

平罗中学2018-2019学年第一学期期末考试 高三数学（文）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定集合的元素后，由交集概念求解．‎ ‎【详解】，∴．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题关键．‎ ‎2.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎3.下列关于命题说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝‎2”‎的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠‎‎0”‎ B. “a＝‎2”‎是“函数f（x）＝ax在区间（﹣∞，+∞）上为增函数”的充分不必要条件 C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥‎‎0”‎ D. “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A，利用四种命题的逆否关系判断；B，根据指数函数的单调性即可判断；C，根据特称命题的否定判断；D，根据极值点的定义判断.‎ ‎【详解】对于A，根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故正确；‎ 对于B，，可得函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；‎ 对于C，根据特称命题的否定是全称命题，命题“，使得x2+x+1<‎0”‎的否定是：“均有”，故正确；‎ 对于D， “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为假命题，比如：中，，但不是的极值点，错误，‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查指数函数的单调性、逆否命题的定义、特称命题的否定、极值点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎4.将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是( )‎ A. ；乙比甲成绩稳定 B. ；甲比乙成绩稳定 C. ；乙比甲成绩稳定 D. ；甲比乙成绩稳定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中位数为把数据按顺序排列后，处于中间位置的数，分别写出甲乙的中位数即可比较其大小;茎叶图中，数据越集中就越稳定，因此可得乙比甲成绩稳定.‎ ‎【详解】将甲乙的成绩分别按顺序排列，可得，所以；因为乙同学成绩较集中，因此，乙比甲稳定.‎ ‎【点睛】本题主要考查中位数的定义和茎叶图的结构特征，属于基础题型.‎ ‎5.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果.‎ ‎【详解】依题意椭圆：的离心率为得，‎ 椭圆的长轴长与焦距之和为6，， 解得，，则， 所以椭圆的标准方程为：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ‎；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎6.下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得，解得，即可估计黑色部分的面积为9，选B．‎ ‎7.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 得分在之间的共有40人 B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5‎ C. 估计得分的众数为55‎ D. 这100名参赛者得分的中位数为65‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率和为1，求得，根据得分在的频率是0.40，得到A正确；根据 得分在的频率为0.5，得到B正确；根据最高的小矩形对应的底边中点为，得到C正确，进而得到答案．‎ ‎【详解】根据频率和为1，计算，解得，‎ 得分在的频率是0.40，估计得分在的有人，A正确；得分在的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为，即估计众数为55，C正确，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎8. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 详解】,故选B.‎ ‎9.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.．‎ ‎【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积==，右半部分是三棱锥，其体积=，所以该几何体的体积.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力．‎ ‎10. 如下框图输出的S为（ ）‎ A. 15 B. ‎17 ‎C. 26 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：程序执行中的数据变化如下：‎ 输出 考点：程序框图 ‎11.在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】在直三棱柱中，，且，点是，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则,‎ 异面直线与所成角的余弦值为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎12.若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．‎ ‎【详解】，‎ 时，，由于，‎ ‎∴，，的最小值是．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数性质是解题关键．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，若，则______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标运算求出参数，再由数量积的坐标表示计算．‎ ‎【详解】，且，，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：10.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行和垂直的坐标表示，掌握向量的坐标运算是解题基础．‎ ‎14.已知实数满足不等式组，则的最小值为______．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出实数满足不等式组表示的平面区域，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 当目标函数过点时，取得最小值，‎ 由，解得，‎ 的最小值为．故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15.在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则__‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】，‎ 由正弦定理可得，，即：，‎ 由余弦定理可得，，‎ 可得，‎ 的面积为，可得，‎ 解得，故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎16.斜率为的直线过双曲线的左焦点F1与双曲线的右支交于点P，且PF2与x轴垂直（F2为右焦点），则此双曲线的离心率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设直线方程为，求出直线与右支的交点纵坐标，利用PF2与x轴垂直,结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】由斜率为的直线过双曲的左焦点 可得直线方程为，可得P的纵坐标为，‎ 又因为与x轴垂直（为右焦点），‎ ‎，‎ 可得，解得，‎ 则双曲线的离心率为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知正项等比数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，已知数列的前项和为证明：．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由等比数列前项和公式求出公比和首项，得通项公式；‎ ‎（2）用裂项相消法求出和，可得结论．‎ ‎【详解】（1）设等比数列的首项及公比分别为，，‎ ‎，，显然，‎ ‎，解得，‎ ‎；‎ ‎（2）证明：由（1）知，，则，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：面．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面可得；‎ ‎（2）在底面中证明=（是底面四边形对角线交点），得线线平行后可得线面平行．‎ ‎【详解】（1）底面，且底面,,‎ 又，且，平面，‎ 平面，．‎ ‎（2）连接交于，连接．‎ ‎,，，，，‎ 又面，平面，‎ 面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直，证明线面平行，证明线线垂直的根据一般是线面垂直的性质定理，因此可先证线面垂直．‎ ‎19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；‎ ‎（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 参考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）；（2）66人；（3）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时的值即可； （3）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（1）由表中数据知，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求回归直线方程为．‎ ‎（2）由（1）知，令，则人.‎ ‎（3）由表中数据得 ，‎ 根据统计有把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20.已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若点P（x0，4）在抛物线C上，且.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）动直线l：x＝my+1（mR）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分别为直线AD，BD的斜率）若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；（2）存在，（﹣1，0）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出抛物线的准线方程，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程即可求得p＝2，从而可得结果；（2）假设存在，设A,B坐标，直线与抛物线联立得关于y的二次函数方程，两根之和，两根之积写出，利用斜率之和为0，即可求出t的值.‎ ‎【详解】（1）由题意得：抛物线的准线方程：，‎ ‎∵点P（x0，4）在抛物线C上，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以由题意：，解得：p＝2，‎ 所以抛物线C的方程：y2＝4x；‎ ‎（2）由题意得，假设存在D（t，0）使得，‎ 设A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，‎ ‎，，‎ 由得 ‎，，‎ 时，使得，‎ 即D点的坐标：（﹣1，0）．‎ ‎【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】第一问中， 由已知，解得 第二问中，因为函数的定义域为.‎ 可知函数的单调递减区间是；单调递增区间是 第三问由得 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立.‎ 即在上恒成立.分离参数法得到．‎ 解：（1）.‎ 由已知，解得. ‎ ‎（2）函数的定义域为..‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，‎ 当变化时，的变化情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.‎ ‎（3）由得，‎ 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立.‎ 即在上恒成立. ‎ 令，在上，‎ 所以在减函数.,所以.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线分别交于两点（点异于极点），求．‎ ‎【答案】（1），； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用消参法可化参数方程为普通方程，由公式，可化直角坐标方程为极坐标方程；‎ ‎（2）用极坐标方程的几何意义求解，把代入曲线的极坐标方程，求得两点的极径，极径相减可得两点间距离．‎ ‎【详解】（1）由（为参数，且），消去参数，‎ 得曲线的普通方程为，即．‎ 由（为参数），消去参数，‎ 得曲线的普通方程为．‎ 结合，，‎ 可得曲线的极坐标方程分别为，；‎ ‎（2）把分别代入曲线的极坐标方程，‎ 得，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查极坐标方程的应用．消参法是参数方程化普通方程的基本方法，公式是直角坐标方程与极坐标方程间的桥梁．‎ ‎ ‎