2020届高三数学（文）“大题精练”15

2020届高三数学（文）“大题精练”15

‎2020届高三数学（文）“大题精练”15‎ ‎17．（12分）函数部分图象如图所示：‎ ‎（1）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离．‎ ‎19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．‎ ‎（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？‎ ‎（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．‎ ‎①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；‎ ‎②求当天的利润不低于元的概率；‎ ‎（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围 ‎2020届高三数学（文）“大题精练”15（答案解析）‎ ‎17．【解析】（1）由图可得，，所以，所以，‎ 当时，，可得，‎ 因为，所以，所以的解析式为．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 当，即时，有最大值，最大值为；‎ 当，即时，有最小值，最小值为．‎ ‎18．【解析】（1）取中点，连，．‎ ‎∵是正三角形，∴．‎ 在中，，∴，∴平面，∴．‎ ‎（2）正中，，‎ 中，，∴，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由（1）证得：平面，‎ 又为中点，∴，‎ 设到平面的距离为，‎ ‎，‎ ‎∴，∴．‎ ‎19．【解析】（1）当时，；‎ 当时，．‎ ‎（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：‎ ‎．‎ ‎②设“当天利润不低于”为事件，‎ 由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，‎ ‎∴，‎ 所以当天的利润不低于元的概率为．‎ ‎（3）若一天制作个蛋糕，‎ 则平均利润为；‎ 若一天制作个蛋糕，‎ 则平均利润为，‎ ‎∵，∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．‎ ‎20．【解析】（1）由题意得，解得，‎ ‎∵，，∴，，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，‎ 故；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立方程得，化简得，‎ 设，，，，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ ‎∵是线段的中点，∴点到直线的距离为，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 综上，面积的最大值为．‎ ‎21．【解析】（1）依题意在上恒成立，‎ 即，在上恒成立，‎ 令，则当时，，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎（2）依题意，所以，所以．‎ 不等式在时恒成立．‎ 即，即在时恒成立，‎ 令，则．‎ 因为，所以．‎ 当时，，所以函数在上单调递增，‎ 若，解得，与不符，应舍去；‎ 当时，由，得；由，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，．‎ 问题转化为恒成立时，求的最大值．‎ 令，则．‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在单调递减，‎ 当时，．‎ 因为，所以，即恒成立．‎ 所以不存在整数使恒成立．‎ 综上所述，不存在满足条件的整数．‎ ‎22．【解析】（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，‎ 曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ 即直线的斜率为，从而，，‎ 由已知，设，，‎ 将代入，得，‎ 同理，将代入，得，‎ 所以．‎ ‎23．【解析】（1），‎ 当时，无解；‎ 当时，由，得，解得；‎ 当时，由，解得．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由，得，‎ 设，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴，故实数的范围是．‎