专题8-4+直线、平面平行垂直的判定及其性质（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题8-4+直线、平面平行垂直的判定及其性质（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎ ‎ ‎【基础巩固】‎ 一、填空题 ‎1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】若m⊂α，l⊥m，则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能，充分性不成立；若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，必要性成立，所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．‎ ‎2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，给出下列命题：‎ ‎①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β；‎ ‎②过点P垂直于直线l的直线在平面α内；‎ ‎③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；‎ ‎④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.‎ 其中假命题为________(填序号)．‎ ‎【答案】②‎ ‎3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．‎ ‎4．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】如图，‎ ‎∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，‎ DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，‎ ‎∴AC∥平面PDE.故①②正确． ‎ ‎5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.‎ 其中正确的命题是________(填序号)．‎ ‎【答案】①④‎ ‎6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ ‎【解析】由定理可知，BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.‎ 又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎7．(2017·徐州检测)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是________(填序号)．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．‎ ‎8．(2016·全国Ⅱ卷改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________(填序号)．‎ ‎【答案】②③④‎ 二、解答题 ‎9．(2017·苏州调研)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎(2)求三棱锥D－BCG的体积．‎ ‎(1)证明　由已知得△ABC≌△DBC，‎ 因此AC＝DC.‎ 又G为AD的中点，所以CG⊥AD.‎ 同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.‎ 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.‎ ‎(2)‎ ‎10．(2017·盐城模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PDE⊥平面PEC.‎ 证明　(1)如图1，取PD的中点G，连接AG，FG.‎ 因为F，G分别是PC，PD的中点，‎ 所以GF∥DC，且GF＝DC.‎ 又E是AB的中点，所以AE∥DC，且AE＝DC，‎ 所以GF∥AE，且GF＝AE，‎ 所以四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG.‎ 又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 图1‎ 图2‎ ‎【能力提升】‎ ‎11．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；‎ ‎④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ 上述命题中为真命题的是________(填序号)．‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．‎ ‎12．(2017·南京师大模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，给出下列结论：‎ ‎①O是△AEF的垂心；②O是△AEF的内心；‎ ‎③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心．‎ 其中结论正确的是________(填序号)．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】‎ 由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ ‎∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ ‎∴O为△AEF的垂心． ‎ ‎13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；‎ ‎④∠PDA＝45°.‎ 其中正确的有________(填序号)．‎ ‎【答案】①④‎ ‎14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎ ‎