2017-2018学年河南省平顶山市郏县第一高级中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南省平顶山市郏县第一高级中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017年12月14日高中数学周测/单元测试 一、单选题 ‎1．若，，则一定有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，又，所以，故B正确.‎ ‎【考点】不等式的性质.‎ ‎2．设为等差数列的前项和, ,则= （ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知得解得 ．故选A．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式和前项和公式．‎ ‎3．设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据命题否定的定义，改全称量词为存在性量词，否定结论即可得到， ： ，故选B.‎ ‎4．在中，角的对边分别为， ，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理， ， ， ，故为锐角， ， ，选A.‎ ‎5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：△的周长为，所以，，又离心率为，故，，所以椭圆的方程为 ‎【考点】椭圆方程 ‎6．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）‎ A. 58 B. 88 C. 143 D. 176‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：在等差数列中，，所以，故选B.‎ ‎【考点】等差数列的性质，等差数列的前项和.‎ ‎7．在中，若，则的形状一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】 ， ，则， 为等腰三角形，选C.‎ ‎8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯 (　 　)‎ A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有： ，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ 点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．‎ ‎9．在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（ ）。‎ A. ； B. ；‎ C. ； D. ；‎ ‎【答案】D ‎【解析】有钝角或直角最多一解，B错。由，A中，1解，不符。C中，无解。D中符合两解。选D.‎ ‎【点睛】‎ 在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和，大边对大角来判断。‎ ‎10．实数，满足不等式组,则有（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：约束条件对应的平面区域如下图示：‎ ω=表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（3，3）与点（-1，1）连线的斜率，由图可知ω=的取值范围是[-1，]，故选D．‎ ‎【考点】本题考查了 点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．‎ ‎11．中，角所对的边分别为， 表示三角形 的面积，且满足，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中，∵S==acsinB，cosB=．代入原式子得到，tanB=，∵B∈（0，π），‎ ‎∴B= ．‎ 故答案为B。‎ ‎12．数列的通项公式，其前项和为，则（ ）‎ A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时， ，‎ 当时， ，‎ 当时， ‎ ‎∴‎ ‎，故选A．‎ 点睛：本题的解题关键在于对数列周期性的了解，因为通项公式中有三角函数，此类问题解决时要结合三角函数的周期性来解决，通过分析，其周期为4，可以写出其通项公式，也可写出前四项，分析2012项共有多少个周期，利用每个周期内四项的和为2来处理.‎ 二、填空题 ‎13．已知的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可设的三边分别为，由余弦定理可得， ，可得，‎ 可得该三角形的外接圆半径为，故答案为.‎ ‎14．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 由题意知，‎ ‎ 因为，‎ 当且仅当时等号成立，所以的最小值为.‎ ‎15．有下列四种说法：‎ ‎①， 均成立；②若是假命题，则， 都是假命题；③命题“若，则”的逆否命题是真命题；④“ ”是“直线与直线互相垂直”的充分条件．‎ 其中正确的命题有__________．‎ ‎【答案】1,3,4‎ ‎【解析】对于①, 恒成立,命题正确;‎ 对于②, 若是假命题，则， 中至少有一个是假命题,命题错误;‎ 对于③, 若，则正确,则它的逆否命题也正确;‎ 对于④,当时, 直线与直线互相垂直,命题正确;‎ 故填①③④.‎ ‎16．设椭圆：（）的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：在中，，，所以，结合椭圆定义得：，所以.‎ ‎【考点】由椭圆的标准方程求几何性质.‎ 三、解答题 ‎17．命题:；命题:方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：命题为真，求出，命题为真，求出，利用“且”是假命题，“或”是真命题，推出是真命题，且是假命题，或是假命题且是真命题，两种情况分别列不等式组，求解不等式即可得结果.‎ 试题解析：命题: 为真， ‎ 命题为真，即方程是焦点在轴上的椭圆， ‎ 又“且”是假命题，“或”是真命题 ‎ 是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题 ‎ ‎ ，或 ‎ ‎ 的取值范围是 ‎18．已知等差数列的前项和为等比数列的前项和为且.‎ ‎（1）若求的通项公式；‎ ‎（2）若求.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得，即可得到所求通项公式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得 d+q=3.①‎ ‎（1）由得②‎ 联立①和②解得（舍去），‎ 因此的通项公式 ‎（2）由得.‎ 解得 当时，由①得，则.‎ 当时，由①得，则.‎ ‎19．（本小题12分）在△ABC中，已知．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理求BC的长；（2）先利用正弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系进而求出，最后利用倍角的正弦公式求出；‎ 试题解析：（1）由余弦定理知，‎ 所以．‎ ‎（2）由正弦定理知，，所以．因为AB＜BC，所以C为锐角，则．‎ ‎ 因此．‎ ‎【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．倍角公式；‎ ‎20．在△中，内角，，的对边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,△的周长为5，求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得，即求解的值；（2）由（1）可知，∴，再由余弦定理和三角形周长，即可求解的长.‎ 试题解析：（1）由正弦定理知，‎ ‎， （2分）‎ 即，‎ 即， （4分）‎ 又由知，，所以. （6分）‎ ‎（2）由（1）可知，∴， （8分）‎ 由余弦定理得 ‎∴， （10分）‎ ‎∴，∴，∴. （12分）‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理.‎ ‎21．设椭圆过点,离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知： ，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），‎ 将（0，4）代入C的方程得，即b=4‎ 又得=；‎ 即，∴a=5‎ ‎∴C的方程为 ‎（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入C的方程，得，‎ 即x2﹣3x﹣8=0，解得，，‎ ‎∴AB的中点坐标，‎ ‎，‎ 即中点为．‎ ‎22．已知数列的各项均为正数， 是数列的前项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知，解得，由可得，两式相减能够推出数列是以为首项， 为公差的等差数列，所以；（2）结合（1）可得 ，利用错位相减法可得的值.‎ 试题解析：（1）当n = 1时，解出a1 = 3, （a1 = 0舍） ‎ 又4Sn = an2 + 2an－3 ①‎ 当时 4sn－1 = + 2an-1－3 ② ‎ ‎①－② , 即，‎ ‎∴ , ‎ ‎（），‎ 是以3为首项，2为公差的等差数列， ‎ ‎． ‎ ‎（2） ③‎ 又 ④‎ ‎④－③ ‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎