2019届二轮复习解题技巧第1讲　计数原理课件（41张）（全国通用）

2019届二轮复习解题技巧第1讲　计数原理课件（41张）（全国通用）

第 1 讲　计数原理 专题 三 　 概率与统计 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查 . 2 . 二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘 . 热点一　两个计数原理 例 1 　 (1)(2018· 潍坊模拟 ) 中国古代中的 “ 礼、乐、射、御、书、数 ” 合称 “ 六艺 ”.“ 礼 ” ，主要指德育； “ 乐 ” ，主要指美育； “ 射 ” 和 “ 御 ” ，就是体育和劳动； “ 书 ” ，指各种历史文化知识； “ 数 ” ，数学 . 某校国学社团开展 “ 六艺 ” 课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求： “ 数 ” 必须排在前三节，且 “ 射 ” 和 “ 御 ” 两门课程相邻排课，则 “ 六艺 ” 课程讲座不同的排课顺序共有 A.120 种 B.156 种 C.188 种 D.240 种 解析 答案 √ 所以满足条件的共有 48 ＋ 36 ＋ 12 ＋ 24 ＝ 120( 种 ) 排法 . 解析 (2) 若自然数 n 使得作竖式加法 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ ( n ＋ 2) 均不产生进位现象，则称 n 为 “ 开心数 ”. 例如： 32 是 “ 开心数 ”. 因为 32 ＋ 33 ＋ 34 不产生进位现象； 23 不是 “ 开心数 ” ，因为 23 ＋ 24 ＋ 25 产生进位现象，那么，小于 100 的 “ 开心数 ” 的个数为 A.9 B.10 C.11 D.12 答案 √ 解析　 根据题意个位数需要满足要求： n ＋ ( n ＋ 1) ＋ ( n ＋ 2)<10 ，即 n <2.3 ， ∴ 个位数可取 0,1,2 三个数， ∵ 十位数需要满足： 3 n <10 ， ∴ n <3.3 ， ∴ 十位可以取 0,1,2,3 四个数，故小于 100 的 “ 开心数 ” 共有 3 × 4 ＝ 12( 个 ). (1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理 . (2) 对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 . 思维升华 答案 解析 跟踪演练 1 　 (1) 某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完， 4 个红包中有 2 个 6 元， 1 个 8 元， 1 个 10 元 ( 红包中金额相同视为相同红包 ) ，则甲、乙都抢到红包的情况有 A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 √ 解析 　 若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的，剩下 2 个红包被剩下的 3 人中的 2 个人抢走， 有 ＝ 12( 种 ) 抢法； 若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包被剩下的 3 人中的 2 个人抢走， 有 ＝ 12( 种 ) 抢法； 若甲、乙抢的是一个 8 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包被剩下的 3 人中的 2 个人抢走， 有 ＝ 6( 种 ) 抢法 ； 若甲、乙抢的是两个 6 元的，剩下 2 个红包被剩下的 3 人中的 2 个人抢走， 有 ＝ 6( 种 ) 抢法 . 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有 36 种 . 解析　 若种植 2 块西红柿，则他们在 13,14 或 24 位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以 共有 3 × 2 ＝ 6( 种 ) 种植方式； 若种植 2 块黄瓜或 2 块茄子也是 3 种种植方式，所以一共有 6 × 3 ＝ 18( 种 ) 种植方式 . (2)(2018· 百校联盟联考 ) 某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有 A.9 种 B.18 种 C.12 种 D.36 种 1 2 3 4 √ 答案 解析 热点二　排列与组合 名称 排　列 组　合 相同点 都是从 n 个不同元素中取 m ( m ≤ n ) 个元素，元素无重复 不同点 ① 排列与顺序有关； ② 两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ① 组合与顺序无关； ② 两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 答案 例 2 　 (1)(2018· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考 ) 将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 A.240 种 B.480 种 C.720 种 D.960 种 √ 解析 　 12 或 67 为空位时，第三个空位有 4 种选择； 23 或 34 或 45 或 56 为空位时，第三个空位有 3 种选择，因此空位共有 2 × 4 ＋ 4 × 3 ＝ 20( 种 ) ，所以不同坐法有 20 ＝ 480( 种 ). 解析 答案 (2)5 位大学毕业生分配到 3 家单位，每家单位至少录用 1 人，则不同的分配方法 共有 A.25 种 B.60 种 C.90 种 D.150 种 √ 解析　 因为 5 位大学毕业生分配到 3 家单位，每家单位至少录用 1 人，所以共有两种方法： 解析 共有 90 ＋ 60 ＝ 150( 种 ) 分配方法 . 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 . 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径 (1) 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 . (2) 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 . (3) 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 . 解答计数问题多利用分类讨论思想 . 分类应在同一标准下进行，确保 “ 不漏 ” 、 “ 不重 ”. 思维升华 跟踪演练 2 　 (1)(2018· 北京市建华实验学校模拟 ) 甲、乙、丙、丁、戊共 5 人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有 ____ 种 . 答案 80 解析 答案 (2)(2018· 湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考 ) 郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有 A.168 种 B.156 种 C.172 种 D.180 种 解析 总共 N ＝ 12 ＋ 96 ＋ 48 ＝ 156( 种 ) 安排方案 . √ 热点三　二项式定理 例 3 　 (1)(2018· 揭阳模拟 ) 已知 ( x ＋ 1 ) 的 展开式中常数项为－ 40 ，则 a 的值为 A.2 B . － 2 C.±2 D.4 答案 解析 √ 令 5 － 2 k ＝－ 1 ，可得 k ＝ 3 ， 即 10 a 2 ＝ 40 ， ∴ a ＝ ±2. (2) 已知 (1 － 2 x ) 2 017 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 1) ＋ a 2 ( x － 1) 2 ＋ … ＋ a 2 016 ( x － 1) 2 016 ＋ a 2 017 ( x － 1) 2 017 ( x ∈ R ) ，则 a 1 － 2 a 2 ＋ 3 a 3 － 4 a 4 ＋ … － 2 016 a 2 016 ＋ 2 017 a 2 017 等于 A.2 017 B.4 034 C . － 4 034 D.0 答案 √ 解析 解析　 因为 (1 － 2 x ) 2 017 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 1) ＋ a 2 ( x － 1) 2 ＋ … ＋ a 2 016 ( x － 1) 2 016 ＋ a 2 017 ( x － 1) 2 017 ( x ∈ R ) ， 两边 同时求导可得－ 2 × 2 017(1 － 2 x ) 2 016 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 ( x － 1) ＋ … ＋ 2 016 a 2 016 ( x － 1) 2 015 ＋ 2 017 a 2 017 ( x － 1) 2 016 ( x ∈ R ) ， 令 x ＝ 0 ，则－ 2 × 2 017 ＝ a 1 － 2 a 2 ＋ … － 2 016 a 2 016 ＋ 2 017 a 2 017 ＝－ 4 034. (1) 在应用通项公式时，要注意以下几点： ① 它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 k 确定，该项就随之确定； ② T k ＋ 1 是展开式中的第 k ＋ 1 项，而不是第 k 项； ③ 公式中， a ， b 的指数和为 n ，且 a ， b 不能随便颠倒位置； ④ 对二项式 ( a － b ) n 的展开式的通项公式要特别注意符号问题 . (2) 在二项式定理的应用中， “ 赋值思想 ” 是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(2018· 龙岩质检 ) 已知 二项式 ， 则展开式的常数项为 A. － 1 B.1 C. － 47 D.49 答案 解析 √ 它们的和为 1 － 24 ＋ 24 ＝ 1. 答案 √ 解析 解析　 令 x ＝ 1 ，得各项系数之和为 A ＝ 4 n ，二项式系数之和为 B ＝ 2 n ， 真题押题精练 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 ____ 种 . 真题体验 答案 36 解析　 由题意可得，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作， 解析 2.(2016· 上海 ) 在 的 二项展开式中，所有项的二项式系数之和 为 256 ，则常数项等于 ________. 解析 答案 112 解析　 由 2 n ＝ 256 ，得 n ＝ 8 ， 16 答案 3.(2017· 浙江 ) 已知多项式 ( x ＋ 1) 3 ( x ＋ 2) 2 ＝ x 5 ＋ a 1 x 4 ＋ a 2 x 3 ＋ a 3 x 2 ＋ a 4 x ＋ a 5 ，则 a 4 ＝ _____ ， a 5 ＝ _____. 4 解析 解析　 a 4 是 x 项的系数，由二项式的展开式得 答案 解析 4.(2017· 浙江 ) 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 _______ 种不同的选法 .( 用数字作答 ) 660 所以依据分类加法计数原理知共有 480 ＋ 180 ＝ 660( 种 ) 不同的选法 . 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点 . 1. 某电视台一节目收视率很高，现要连续插播 4 个广告，其中 2 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有 A.8 种 B.16 种 C.18 种 D.24 种 √ 答案 解析 押题依据 押题依据　 排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类 . 2. 为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为 A.60 B.120 C.240 D.360 √ 解析　 6 名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为 4,1,1 ； 3,2,1 ； 2,2,2 . ( 1) 对于第一种情况，由于王教练不去甲校， 则第一种情况共有 20 ＋ 40 ＝ 60( 种 ). ( 2) 对于第二种情况， 所以第二种情况共有 40 ＋ 80 ＋ 120 ＝ 240( 种 ). 综上所述，共有 60 ＋ 240 ＋ 60 ＝ 360( 种 ) 分配方案 . 答案 解析 押题依据 押题依据　 二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设计角度新颖、典型，有代表性 . 3. 设 (1 － 2 x ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ＋ a 6 x 6 ＋ a 7 x 7 ，则代数式 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 的值为 A. － 14 B. － 7 C.7 D.14 √ 解析　 对已知等式的两边求导，得 － 14(1 － 2 x ) 6 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 x ＋ 3 a 3 x 2 ＋ 4 a 4 x 3 ＋ 5 a 5 x 4 ＋ 6 a 6 x 5 ＋ 7 a 7 x 6 ， 令 x ＝ 1 ，有 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 ＝－ 14. 4.(1 ＋ 2 x ) 10 的展开式中系数最大的项是 ________. 解析 押题依据 押题依据 　二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力 . 答案 15 360 x 7 依题意知 T k ＋ 1 项的系数不小于 T k 项及 T k ＋ 2 项的系数， 解析 　 设第 k ＋ 1 项的系数最大，