浙江省金华十校2018-2019学年高二下学期期末调研考试数学试题 含解析

浙江省金华十校2018-2019学年高二下学期期末调研考试数学试题 含解析

金华十校 2018-2019 学年高二下学期期末调研考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间 120 分钟．试卷总分为 150 分．请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂，写在答题纸上. 参考公式： 球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高。 棱台的体积公式 其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 其中 、 表示棱台的上、下底面积，h 表示棱 台的高. 其中 S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求集合 ，再求两个集合的交集. 【详解】 ， . 故选 B. 【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题型. 2.函数 是（） A. 偶函数且最小正周期为 2 B. 奇函数且最小正周期为 2 24S Rπ= V Sh= 34 3V Rπ= ( )1 1 2 2 1 3V h S S S S= + + 1S 2S 1 3V sh= 01 2 3 4A =｛ ，，，，｝ { || | 1}B x x= £ A B∩ ＝ 1 01｛- ，，｝ 01｛ ，｝ 0｛ ｝ 1｛｝ B { }1 1B x x− ≤ ≤ { }0,1A B = ( ) 21 2sinf x x= − π π C. 偶函数且最小正周期为 D. 奇函数且最小正周期为 【答案】C 【解析】 【分析】 首先化简为 ，再求函数的性质. 【详解】 ，是偶函数， 故选 C. 【点睛】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型. 3.双曲线 与双曲线 有相同的（） A. 顶点 B. 焦点 C. 渐近线 D. 离心率 【答案】C 【解析】 【分析】 根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案. 【详解】 的顶点是 ，焦点是 ，渐近线方程是 ，离心率是 ； 的顶点是 ，焦点是 ，渐近线方程是 ，离 心率 ，比较后可知只有渐近线方程一样. 故选 C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型. 4.“ ”是“ ”成立的（） π π ( ) cos2f x x= ( ) cos2f x x= ( ) ( )f x f x− = 2 2T π π= = 2 2 14 yx − = 2 2 14 y x− = 2 2 14 yx − = ( )1,0± ( )5,0± 2y x= ± 5ce a = = 2 2 14 y x− = ( )0, 2± ( )0, 5± 2y x= ± 5 2 ce a = = 1 1x≤ ≤－ 1 1 2x x ≥+＋ － A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先画出函数 的图像，求解不等式 的解集，然后判断两个 集合的包含关系，根据包含关系判断选项. 【详解】如图: 的图像 由图像可知 恒成立，所以解集是 ， 是 的真子集，所以 “ ”是“ ”成立的充分不必要条件. 故选 A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型. 5.已知经过 ， 两点的直线 AB 与直线 l 垂直，则直线 l 的倾斜角是（） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求直线 的斜率，再根据两直线垂直，求直线 的斜率，以及倾斜角. 【详解】 ， 1 1y x x= + + − 1 1 2x x+ + − ≥ 1 1y x x= + + − 1 1 2x x+ + − ≥ R { }1 1x x− ≤ ≤ R 1 1x≤ ≤－ 1 1 2x x ≥+＋ － ( )1 3A ， 4 0B（ ，） AB l 3 0 3 1 4 3ABk −= = −− ， ， 直线 l 的倾斜角是 . 故选 B. 【点睛】本题考查了两直线垂直的关系，以及倾斜角和斜率的基本问题，属于简单题型. 6.设 ， 是两个不重合的平面， ， 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 选项逐一分析，得到正确答案. 【详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行； B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行； C.正确，因为平面 内存在直线 ，使 ，若 ，则 ，则 ； D.不正确，有可能 . 故选 D. 【点睛】本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型. 7.函数 向右平移 个单位后得到函数 ，若 在 上单调递增，则 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 AB l⊥ 3lk∴ = ∴ 60 α β l m l α⊥ l β⊥ α β∥ l α⊥ m α⊥ l m l α⊥ l β∥ α β⊥ l α⊥ α β⊥ l β∥ β m //l m l α⊥ ,m mα β⊥ ⊂ α β⊥ l β⊂ ( ) sin 2 3f x x π = +   ( )0ϕ ϕ π≤ ≤ ( )g x ( )g x ,6 6 π π −   ϕ 0, 4      π 20, 3 π     2,4 3 π π     ,12 4 π π     【分析】 首先求函数 ，再求函数的单调递增区间，区间 是函数单调递增区间的子集， 建立不等关系求 的取值范围. 【详解】 , 令 解得 ， 若 在 上单调递增， ,解得： 时， 故选 D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 8.已知 ， ， ，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数运算法则，三个数都化为以 2 为底的对数，这样就可以比较真数，即比较 ， ， 的大小，然后再求这三个数的 12 次方，比较大小. 【详解】 , ， ， . ( )g x ,6 6 π π −   ϕ ( ) ( )sin 2 3g x x πϕ = − +   2 2 2 22 3 2k x k π π ππ ϕ π− + ≤ − + ≤ + 5 12 12k x k π πϕ π ϕ π− + + ≤ ≤ + + k Z∈ ( )g x ,6 6 π π −   12 6{ 5 12 6 k k π πϕ π π πϕ π + + ≥ − + + ≤ − 12 4k k π ππ ϕ π− ≤ ≤ − ( )0,ϕ π∈ 0k∴ = 12 4 π πϕ≤ ≤ 8log 6a = 4log 3b = 3 4c = a b c> > a c b> > c b a> > b c a> > 1 36 1 23 3 42 1 3 8 2 2 1log 6 log 6 log 63a = = = 1 2 4 2 2 1log 3 log 3 log 32b = = = 3 4 2 3 log 24c = = ， ， ， ， ， 故选 A. 【点睛】本题考查了对数比较大小，考查了转化与化归的思想，属于中档题型. 9.如图，在菱形 ABCD 中， ，线段 AD，BD，BC 的中点分别为 E，F，K，连接 EF， FK．现将 绕对角线 BD 旋转，令二面角 A－BD－C 的平面角为 ，则在旋转过程中有 （） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据旋转前后的几何体，表示 和 ，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较 顶角的问题，还需考虑 和 两种特殊情况. 【详解】如图， 绕 旋转形成以圆 为底面 两个圆锥，( 为圆心， 为半径， 为 的中的  121 436 6 1296   = =    121 623 3 729   = =    123 942 2 512   = =    1 1 3 3 2 46 3 2∴ > > a b c∴ > > 60BAD∠ °＝ ABD△ α EFK∠ ≤ α EFK∠ ≥ α EDK∠ ≤ α EDK∠ ≥ α E FK∠ ′ α 180α =  0α =  DEF∆ BD O O OE O DF 点)， ， ， 当 且 时， 与等腰 中， 为公共边， ， , . 当 时， , 当 时， , 综上， 。 C.D 选项比较 与 的大小关系，如图即比较 与 的大小关系，根据特殊值验 证： 又当 时， , 当 时， ， 都不正确. 故选 B. 【点睛】本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动 态的旋转过程中，如何转化 和 ，从而达到比较的目的，或考查 和 两种特殊情况，可快速排除选项. 10.已知函数 ，若 ， 均在［1，4］内，且 ， ，则 实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 E FK EFEπ∠ = − ∠′ ′ E OEα π= − ∠ ′ 180α ≠  0α ≠  OEE∆ ′ FEE∆ ′ EE′ FE FE OE OE= > =′ ′ EFE EOE∴∠ < ∠′ ′ E FK α∴∠ ′ > 180α =  E FK α∠ ′ = 0α =  E FK α∠ ′ > E FK α∠ ′ ≥ EDK∠ α E DK′∠ α 0α =  E DK α∠ ′ > 180α =  E DK α∠ ′ < ,C D∴ EFK∠ α 180α =  0α =  ( ) 22lnf x x ax= − α β 1β α− = ( ) ( )f fα β= a ln 20, 4      2 4 ln 2ln ,7 3 4      ln 2 2, ln 24 3      2 4 2ln , ln 27 3 3      先 求 导 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 ， 确 定 ; 再 利 用 ， 即 ， 可 得 ， ， 设 ， ，确定 在 上递增， 在 有零点，即可求实数 的取值范围． 【详解】解： ， 当 时， 恒成立，则 f（x）在（0，+∞）上递增，则 f（x）不可能有两个相等 的函数值．故 ； 由题设 ， 则 ＝ 考虑到 ，即 ， 设 ， ， 则 在 上恒成立， 在 上递增， 在 有零点，则 ， ， 故实数 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的 难点是根据已知条件 ，以及 ，变形为 ， ，然后构造函数转化为函数零点问题. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11.已知 ，若方程 表示圆，则圆心坐标为____； 的取值范围是 ____． ( ) ( )f fα β= 0a > 1β α− = ( )2ln 2ln 0aα β α β− + + = ( ) ( )2ln 2ln 1 2 1 0aα α α− + + + = [ ]1,3α ∈ ( ) ( ) ( )2ln 2ln 1 2 1h x x x a x= − + + + [ ]1,3x∈ ( )h x [ ]1,3 ( )h x [ ]1,3 a ( ) ( )22 2 0axf x xx ′ −= > 0a ≤ ( ) 0f x′ > 0a > ( ) ( )f fα β= 2 22ln 2lna aα α β β− = − 22ln aα α− 22ln aβ β− 1β α− = ( )2ln 2ln 0aα β α β− + + = ( ) ( )2ln 2ln 1 2 1 0aα α α∴ − + + + = [ ]1,3α ∈ ( ) ( ) ( )2ln 2ln 1 2 1h x x x a x= − + + + [ ]1,3x∈ ( ) 2 2 2 01h x ax x ++ ′ = − > [ ]1,3 ( )h x∴ [ ]1,3 ( )h x [ ]1,3 ( ) ( ) 1 0 3 0 h h  ≤∴ ≥ 2ln 2 3 0 2ln3 2ln 4 7 0 a a − + ≤∴ − + ≥ 2 4 2ln ln 27 3 3a∴ ≤ ≤ a 2 4 2ln ln 27 3 3a≤ ≤ ( ) ( )f fα β= 1β α− = ( ) ( )2ln 2ln 1 2 1 0aα α α− + + + = [ ]1,3α ∈ m R∈ 2 2 +2 2 0x y x y m+ + + = m 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 当 圆 的 方 程 是 以 一 般 方 程 给 出 时 ， 根 据 圆 心 坐 标 公 式 , 还 需 满 足 表示圆. 【详解】（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得 ， ， 圆心坐标 . （2）若方程表示圆，那么需满足 ，即 . 故填： ; . 【点睛】本题考查了圆的一般方程，属于简单题型. 12.已知角 的终边在直线 上，则 ____； ____． 【答案】 (1). 1 (2). 1 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数的定义直接求结果； （2）转化为关于 的齐次分式，上下同时除以 ，计算得结果. 【详解】（1） ； （2） . 故填：1；1. 【点睛】本题考查了三角函数的定义和 的齐次分式求解的问题，属于简单题型. 13.已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 （1） ____； ( 1, 1)− − 2m < ,2 2 D E − −   2 2 4 0D E F+ − > 2 12x = − = − 2 12y = − = − ( )1, 1− − 2 22 2 4 0m+ − > 2m < ( )1, 1− − 2m < α y x= tanα = 2sin sin cosα α α+ = sin ,cosα α cosα tan 1y x α = = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos tan tansin sin cos 1sin cos tan 1 α α α α αα α α α α α + ++ = = =+ + sin ,cosα α { }na n nS 2n nS a= − a = （2）比较大小： ____ （填 ， 或 ）． 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】 （1）代入 ，可求出数列的前三项，根据公式 ，求得 ； （2）利用基本不等式和等比数列的基本性质得到结论. 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得 ， 数列是等比数列， ，解得 ； （2） 是等比数列， ， ， ， . 故填：1； . 【点睛】本题考查了等比数列的性质和基本不等式的简单综合问题，属于简单题型. 14.已知向量 ， ．若 时， ，则 ____；若对任意 2018 2020 1 1 a a + 2019 2 a > < = > 1,2,3n = 32 1 2 aa a a = a 1n = 1 1 2a S a= = − 2n = 2 1 2 4S a a a= + = − 2 2a = 3n = 3 1 2 3 8S a a a a= + + = − 3 4a =  32 1 2 aa a a ∴ = 1 1 2 1 1a a a= ⇒ − = ⇒ =  { }na 2 2018 2020 2019a a a∴ ⋅ = 2018 2020 2018 2020 2019 1 1 1 22a a a a a + ≥ =⋅ 2q = 2018 2020 1 1 a a ∴ ≠ 2018 2020 2019 1 1 2 a a a + > > ( )cos ,sina α α= ( )1,b m= 3 πα = / /a b m = ， ，则 ____． 【答案】 (1). (2). 0 【解析】 【分析】 （1）根据向量平行的坐标表示的公式可得结果，（2）根据已知可得 ，经 过向量数量积的运算，代入坐标得到结果. 【详解】（1）根据 ， ， ， 解得： ； （2） ， 解得： . 故选： ； . 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，和向量数量积的坐标表示，属于简单题型. 15.已知 ，函数 ，若 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知可得 ， 恒成立，根据二次函数的图像，列不等式组解决问题. 【详解】 , α ∈R ( )( )a b a b+ ⊥ −   m = 3 ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =   3 πα = 1 3,2 2a  =      ( )1,b m= / / 1 3 2 2 a b m∴ =   3m = ( )( )a b a b+ ⊥ −    ∴ ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =   2 2a b⇒ =  2 2 2cos sin 1 1mα α+ = + = 0m = 3 0 a R∈ ( ) ( )2f x x x a= − ( )f x [ ]1,2 a 2 3a  ( ) 0f x′ ≤ [ ]1,2x∈ ( ) ( ) ( )2 2 22 3 4f x x a x x a x ax a= − + ⋅ − = − +′ 在区间 上单调递减， ，解得 . 故填： . 【点睛】本题考查了已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，根据函数是单调递减， 转化为 恒成立，根据二次函数的图像列不等式组，得到参数的取值范围，一般恒成 立的问题也可转化为参变分离的方法，转化为求函数的最值问题. 16.如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为__． 【答案】 【解析】 【分析】 由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶点的三条 棱两两垂直，根据图中数据直接计算体积. 【详解】由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶 点的三条棱两两垂直， . 故填： . 【点睛】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，属于简单题型. ( )f x [ ]1,2 ( ) ( ) 1 0 2 0 f f  ≤∴ ≤ ′ ′ 2 3a≤ ≤ 2 3a≤ ≤ ( ) 0f x′ ≤ cm 4 3 1 1 42 2 1 23 2 3V∴ = × × × × × = 4 3 17.已知平面向量 满足 ， ，则 的最大值是____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据已知条件可设出 的坐标，设 ， ， ，利用向量数量积 的坐标表示 ，即求 的最大值，根据 ，可得出 的轨迹方程，从而求 出最大值. 【详解】设 ， ， ， ， 点 是以 为圆心，1 为半径的圆， ， ， 的最大值是 2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的 关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分． 18.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （1）若 ， ，求 的面积； （2）求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 , ,a b c  2 1a b a⋅ = =  1b c− =  a c⋅  , ,a b c  ( )1,0a = ( )1,b k= ( ),c x y= a c x⋅ =  x 1b c− =  ( ),x y ( )1,0a = ( )1,b k= ( ),c x y= ( )1 ,b c x k y− = − −  1b c− =   ( ) ( )2 21 1x y k∴ − + − = ∴ ( ),x y ( )1,k 0 2x≤ ≤ a c x⋅ =  0 2x≤ ≤ a c∴ ⋅  ABC△ , ,A B C , ,a b c 1cos 2B = − 2a = 2 3b = ABC△ sin sinA C⋅ 3 10, 4     （1）根据正弦定理和利用 ，得到 ，最后 求 面积；（2）由已知可得 ，所以 ，转化为三角函数 恒等变形，得到 ， 根据角的范围求函数的取值范围. 【详解】解：（1）在 中，∵ ，∴ ， ∵ ， ，由正弦定理得： ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ． （2） . ∵ ，∴ . ∴ ，则 . 【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等变换求函数的最值，第一问也可 利用余弦定理求边 ，利用 求面积. 19.如图，在四棱锥 中， 是以 为斜边的直角三角形， ， ， ， ． （1）若线段 上有一个点 ，使得 平面 ，请确定点 的位置，并说明理由； A B C π+ + = ( )sin sinC A B= + in1 2 sS ab C= 2 3B π= sin sin sin sin3A C C C π ⋅ = − ⋅   1 1sin 22 6 4y C π = + −   ABC△ 1cos 2B = − 3sin 2B = 2a = 2 3b = 2 2 3 sin sinA B = 1sin 2A = 6A π= 6C π= 1 sin 32ABCS ab C∆ = = 1 1sin sin sin sin sin 23 2 6 4A C C C C π π   ⋅ = − ⋅ = + −       0, 3c π ∈   52 ,6 6 6C π π π + ∈   1sin 2 ,16 2C π   + ∈       1sin sin 0, 4A C  ⋅ ∈   c 1 sin2S ac B= ⋅ E ABCD− EAD AD 2AE = 60DAE∠ = ° BC AD∥ 1 2AB BC CD AD= = = AD P CD∥ PBE P （2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）当 P 为 AD 的中点时， 平面 PBE（2） 【解析】 【分析】 要证线面平行，需证明线线平行，所以取 中点 ，连接 ，即证明 ； （2）过 B 作 于 H，连结 HE，证明 两两垂直，以点 为原点，建立空 间直角坐标系，求平面 的法向量 ，利用公式 求解. 【详解】解：（1）当 P 为 AD 的中点时， ， 又因为 平面 PBE， 平面 PBE，所以 平面 PBE． （2）过 B 作 于 H，连结 HE，在等腰梯形 ABCD 中易知 ． 中， ， ， ，可得 ． 又因为 ，平面 平面 ADE， 且平面 平面 ， 所以 平面 ADE，所以 ． 如图，以 H 为原点，HE，HD，HB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 则 ， ， ， . 所以 ， . ．设平面 ABE 的一个法向量 ， 则 ，即 ，取 ，得 . 在 ABCD ⊥ ADE CD ABE CD∥ 15 5 AD P BP / /CD BP BH AD⊥ , ,HB HD HE H ABE n sin cos ,CD nθ = 〈 〉  CD PB∥ CD ⊂/ PB ⊂ CD∥ BH AD⊥ 1AH = AEH△ 1AH = 2AE = 60DAE °∠ = AH HE⊥ BH AD⊥ ABCD ⊥ ABCD  ADE AD= BH ⊥ BH HE⊥ ( 3,0,0)E (0,0, 3)B (0,1,0)P (0, 1,0)A − (0, 1, 3)PB = − (0,1, 3)AB = ( 3,1,0)AE = ( ), ,n x y z= 0{ 0 n AB n AB ⋅ = ⋅ =   3 0{ 3 0 y z x y + = + = 1x = (1, 3,1)n = − 设直线 CD 与平面 ABE 所成角为 ，所以 . 【点睛】本题重点考查了线面角的求法，坐标法的一个难点是需建立空间直角坐标系，这个 过程往往需要证明，证明后再建立空间直角坐标系，利用公式求解. 20.已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，若 ，且 ， ， ， 成等差数列． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若对任意正 整数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）分别根据 ，和 成等差数列，分别表示为 和 的方程组，求出首项， 即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得 ，并且求出 ,利用裂项相消法 求和 ，转化为 ，恒成立，转化为求数列的最值. 【详解】解：（1）因为 ， ， 成等差数列，所以 ①， 又因为 ， ， 成等差数列，所以 ，得 ②， 由①②得 ， ．所以 ， . （2） ， . . . θ 2 3 15sin 52 5 PB n PB n ⋅= = = ⋅⋅θ     { }na d { }nb q 2d q= = 1a 1b 2a 2b { }na { }nb nn bc a= { }nc n nS 1 1 n na a +       n nT n 99(2 1)n nS n T m≥ + + m 2 1na n= − 2n nb = 376m ≤ − 1 1 2, ,a b a 1 2 2, ,b a b 1a 1b 2 2 1n nc = × − nS nT ( )99 2 1n nm S n T< − + 1a 1b 2a 1 1 1 12 db a a= + = + 1b 2a 2b 1 2 2 1 3 2 2 b ba b += = 1 1 32 2a b+ = 1=1a 1=2b 2 1na n= − 2n nb = 2 2 1n n ba = × − ( )2 3 22 2 2 2 2 2 4n n nS n n+= + + + + − = − − 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n+  = = − − + − +  1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n    = − + − + + − = − =   − + + +    令 ，则 ， 则 ， 所以，当 时， ，当 时 ， 所以 的最小值为 . 又 恒成立，所以， ． 【点睛】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前 项和的方法，以及和函数结合考查数列 的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断 的正负，根据单调 性求函数的最值. 21.已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 与椭圆 在第 一线象限的交点为 ． （1）求曲线 、 的方程； （2）在抛物线 上任取一点 ，在点 处作抛物线 的切线 ，若椭圆 上存在两点关于 直线 对称，求点 的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）根据离心率可得 ，再将点 分别代入两个曲线，求得曲线方程；（2） 99(2 1) n n nS n TA = − + 2 22 4 99 2 100 4n n nA n n n+ += − − − = − − ( )3 2 2 1 2 100( 1) 2 100 2 100 4 2 25n n n n n nA A n n+ + + + − = − + − + = − = − 4n ≤ 1n nA A+ nA 7 5 2 100 5 4 376A = − × − = − 99(2 1)n nm S n T≤ − + 376m ≤ − n 1n na a+ − 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 2 2 : 2C x py= 1C 13, 2A     1C 2C 2C P P 2C l 1C l P 2 2 1 : 14 xC y+ = 2 2 : 6C x y= [0,3( 2 1)]− 2 24a b= 13, 2A     首先设 ，根据导数的几何意义求切线 的方程，设椭圆上关于 l 对称的两点为 ， ，那么设直线 的方程， ，转化为直线 与椭圆有 交点，并且 的中点落在切线 上的问题，最后根据 ，求得 的范围. 【 详 解 】 解 ： （ 1 ） 由 已 知 得 ： ， 所 以 ． 把 代 入 椭 圆 ， 解得 ，所以 ，得椭圆 ． 把 代入抛物线 得 ， 所以抛物线 ． （2）设点 ，抛物线 ，所以 ，所以切线 . 设椭圆上关于 l 对称的两点为 ， . （1）当 时，设直线 代入椭圆 得： ． ，化简得 .……（*） ，所以 MN 的中点 Q 的横坐标 ，纵坐标 . 要使 M，N 关于直线 l 对称，则点 Q 在直线 l 上，即 ， 化简得： ，代入（*）式解得 . （2）当 时，显然满足要求. . 2 , 6 tP t      l ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN 3y x mt = + MN MN l > 0∆ 2t 3 2 ce a = = 2 24a b= 13, 2A     2 2 1 2 2: 14 x yC b b + = 1b = 2a = 2 2 1 : 14 xC y+ = 13, 2A     2 2 : 2C x py= 3p = 2 2 : 6C x y= 2 , 6 tP t      2 2 : =6C x y 1 3y x′ = 2 1: ( )6 3 tl y t x t− = − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 0t ≠ 3:MN y x mt = + 1C 2 2 2 36 241 4 4 0mx x mt t  + − + − =   ( )2 2 2 24 364 1 4 4 0m mt t    = − + − >       ( )2 2 1 36t m − < 1 2 2 24 36 mtx x t + = + 0 2 12 36 mtx t = + 2 0 0 2 3 36 mty x mt t = + = + 2 2 2 2 1 12 36 6 3 36 mt t mtt tt t  − = − + +  2 18( 2)t m= − 20 18( 2 1)t< < − 0t = 综上所述： ，所以点 P 的纵坐标的取值范围是 . 【点睛】本题考查了求曲线方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系的问题，考查了转化与化 归，以及计算能力，属于中档题型. 22.已知函数 ． （1）求函数 的最小值； （2）当 时，记函数 的所有单调递增区间的长度为 ，所有单调递减区间的 长度为 ，证明： ．（注：区间长度指该区间在 轴上所占位置的长度，与区间的开 闭无关．） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值； （2）根据（1）首先求函数 的零点，从而去掉 的绝对值，分段求函数 的单 调区间，最后再比较单调区间的长度. 【详解】解（1）因为 ，所以 在 单调递减， 单调递增， 所以 . （2）由（1）可知， 在 单调递减， 单调递增 又 ， ， 所以存在 ，使得 ， 则当 时， ，当 时， 2 18( 2 1)t = − [0,3( 2 1)]− ( ) 2 3 3 lnf x x x x= + − − ( ) 3 3 lng x x x= − − 30, 2x  ∈   ( )f x 1L 2L 1 2L L> x min( ) 2 ln3g x = − + ( )g x ( )f x ( )f x 1( ) 3g x x ′ = − ( )g x 10, 3      1 ,3  +∞    min 1 1( ) 2 ln 2 ln33 3g x g  = = − − = − +   ( )g x 10, 3      1 ,3  +∞    1 2 ln3 03g   = − + <   ( )3 33 0g e e− −= > (1) 0g = 3 0 1, 3x e− ∈   ( )0 0g x = ( )0 00, (1, )x x∈ ∪ +∞ ( ) 0>g x ( )0 ,1x x∈ ( ) 0 2 2 1 2 3 1( ) 2 3 x xf x x x x ′ + −= + − = 1x > 2 ( ) 0f x′ > ( )f x 31, 2      1 3 1 9 93 ln ln 4 2 ln 2 04 4 4 4 8g    = − − = − + = − + <       0 1 4x < 00 x x< < 2( ) 2 3 1h x x x= + − ( )0 1 1( ) 4 8h x h x h < < = −   00 x x< < 2 ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x ( )f x ( )00, x 1 ,12      0 1, 2x     31, 2      1 0 0 3 11 12 2L x x= − + − = − 2 0 0 1 11 02 2L x x= − + − = + 0 1 4x < 2 1 0 12 02L L x− = − < 1 2>L L ( )g x 1x = 0x x= 00 x x< < 1x > ( )f x 0x ( )00, x