江苏省启东中学2020-2021高二数学上学期期初试题（人教新课标A版附答案）
启东中学2020～2021学年第一学期期初测试
高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100,10 B．200,10 C．100,20 D．200,20
图1 图2
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S4＝26，则a4＋a5＋a6等于( )
A．38 B．39 C．41 D．42
3、函数f(x)＝sin (x∈R)的图象的一条对称轴方程是( )
A.x＝0 B．x＝－ C．x＝ D．x＝
4、我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道e＝2.718 28…，若令
0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
19、(本小题满分12分)
等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝32，S13＝221.
(1)求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)且b1＝3，求的前n项和Tn.
20、(本小题满分12分)
现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面问题的空格中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在中，分别为内角所对的边，且满足 .
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
21、(本小题满分12分)
设等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10.
(1)令Tn＝a1a2a3…an，求Tn 的最大值；
(2)令bn＝log2an，求数列{anbn}的前 n 项和Sn .
22(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
2020～2021学年第一学期期初调研测试
高二数学试题答案与解析
1、D 2、D 3、B 4、B 5、C 6、D 7、 C 8、D
9、BC 10、ABC 11、AD 12、ABD
13、130 14、 15、－1 16、e3或e－3 5
17 解析： (1)样本数据的频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
18解析： (1)f(x)＝＋sin 2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin ＋.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以T＝＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin ＋.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin ≤1，因此0≤sin ＋≤，
即f(x)的取值范围为
19解析： (1)等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，
且S4＝32，S13＝221.可得4a1＋6d＝32，13a1＋78d＝221，
解得a1＝5，d＝2，可得an＝5＋2(n－1)＝2n＋3；
(2)由bn＋1－bn＝an＝2n＋3，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝3＋5＋7＋…＋2n＋1＝n(2n＋4)＝n(n＋2)，n≥2，
又b1＝3符合上式，
∴bn＝n(n＋2)(n∈N*)，故＝，
则前n项和Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
＝
20、解析（1）选①，由正弦定理可得：
，
即，
∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴，
选②，由正弦定理可得：
，
∴，
∵，∴，∴，
又，∴；
（2）由余弦定理得：，
又，当且仅当“”时取“=”，
∴，即，∴，
∴，
∴的面积的最大值为.
21解 (1)设等比数列{an}首项为a1，公比为q，所以a1＋a1q2＝20，a1q＋a1q3＝10，
解得所以an＝，
当an＝≥1时，解得n≤5，所以a1>a2>a3>a4>a5＝1>a6>a7>…，
所以Tn的最大值为T4＝T5＝16×8×4×2＝1 024.
(2)由(1)知bn＝log2an＝log2＝5－n，则an·bn＝(5－n)·n－5，
Sn＝4·－4＋3·－3＋…＋(5－n)·n－5，
两边同时乘得，Sn＝4·－3＋3·－2＋…＋(5－n)·n－4，
两式相减得，
Sn＝4·－4－－(5－n)·n－4
＝4×16－－(5－n)·n－4
＝64－16－(5－n)·n－4
＝48＋(n－3)·n－4，
所以Sn＝96＋(n－3)·25－n.
22解析： (1)当a>1时，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，
∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
∴a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，则h(x)＝3x－x2＝－2＋，
又∵h(x)在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，
∴a的取值范围为(2，＋∞)．
