2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版）

新余四中2017-2018学年下学期高二年级开学考试 理科数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第I卷（选择题：共60分）‎ 一、选择题（每题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.若，则下列不等式中不成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．某地市高二理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )‎ A. 份 B. 份 C. 份 D. 份 ‎3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程 零件数x个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y（min）‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）‎ A．68 B．68.2 C．69 D．75‎ ‎4．在锐角中，角所对的边分别为，若， ， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或2‎ ‎8．已知等差数列的前项和为，则数列的前100项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.正四棱柱中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面 的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，要求既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A．1200 B．2400 C．3000 D．3600‎ ‎12．实数满足，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题：共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置。）‎ ‎13.在中，已知， ， ， 那么 ‎ ‎14．设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．‎ ‎15．如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”（如188,38888等），否则就称它为“非优选数”，从由数字0,1,2，…,9共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则= ; ‎ ‎16．已知下列命题：‎ ‎①设为直线，为平面，且，则“”是“”的充要条件；‎ ‎②若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；；‎ ‎③已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”‎ ‎④若不等式恒成立，则m的取值范围是；‎ ‎⑤若命题有，则有；‎ 其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)．‎ 三、解答题：(本大题共6小题．共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17．(本小题满分10分）已知数列的前项和为，且．‎ 求数列的通项公式；‎ 若数列的前n项和为，求．‎ 18. ‎(本小题满分12分）‎ 已知，，分别是的内角，，所对的边，且，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求边的长.‎ ‎19．(本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为（,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20.(本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎21．(本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表:(单位:人)‎ ‎(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?‎ ‎(2)经过多次测试发现:女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙两人独立解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;‎ ‎(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式 ‎22．(本小题满分12分）设为函数两个不同零点.‎ ‎（Ⅰ）若，且对任意,都有，求；‎ ‎（Ⅱ）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若，，且当时，的最大值为，求的最小值.‎ 新余四中2017-2018学年高二下学期开学考试 理科数学答案[]‎ 一选择题 1-5 BBAAA 6-10 CAABA 11-12 BD 二填空题 ‎13. 14. 15. 16.②③‎ 三解答题 ‎17.当时， ，解得．‎ 当时， ，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故．‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 上面两式相减，可得 ‎，‎ ‎，‎ 化简可得．‎ ‎18. （1）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，又为三角形内角，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ‎.‎ 由正弦定理得，‎ 所以 ‎19. （1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束 有， 解得或 ‎ ‎（2）依题意知，的所有可能值为 ‎ 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响 从而有 ‎ ‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ 故 ‎20. （（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以 .‎ 因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，‎ 又因为平面，所以 . 因为 ，所以 平面.‎ ‎（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，又因为 平面，所以 平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. 因为底面是边长为2的菱形，，，‎ 所以 ，，，，，，. ‎ 因为 平面， 所以平面的法向量. 设直线与平面所成角为，由， 得 ‎ ‎，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，‎ 所以 即 令，得. 由平面，得平面的法向量为，‎ 则. ‎ 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.‎ ‎(用传统方法解酌情给分)‎ ‎21. (1)由表中数据得的观测值,‎ 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 ‎(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟,‎ 则基本事件满足的区域为,‎ 设事件为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为,‎ 所以由几何概型,即乙比甲先解答完的概率.‎ ‎(3)由题可知可能取值为0,1,2,‎ ‎,‎ 故的分布列为:‎ 所以.‎ ‎22. （Ⅰ）由得函数关于对称，则 又 解得 ‎ ‎（Ⅱ）由知只需考虑时的情况 当时可化为 所以关于的方程存在唯一负实根 令，则， ‎ 在上单调递增，‎ 则.‎ ‎（Ⅲ）‎ 等号成立条件为 ‎ 所以 ‎ 因为