数学理卷·2018届河南省郑州市高三第一次质量检测（模拟）（2018

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‎2018年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷 第Ⅰ卷 一、选择题：共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（ ）‎ A. B.或1 C.2或 D.2‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A.“若，则”的否命题是“若，则”‎ B.“若，则”的逆命题为真命题 C.，使成立 D.“若，则”是真命题 ‎4.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（ ）‎ A.50 B.70 C.90 D.120‎ ‎5.等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（ ）‎ A.1 B. C.1或 D.或 ‎6.若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，若函数是奇函数，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）‎ A.24 B.‎ C.64 D.‎ ‎9.如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且 ‎，则实数的值为（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎10.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（ ）‎ A.28 B.36 C.48 D.56‎ ‎12.已知函数，实数满足，，则（ ）‎ A.6 B.8 C.10 D.12‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分.‎ ‎13.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .‎ ‎14.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：‎ ‎（1）若甲单位数据的平均数是122，求；‎ ‎（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取3天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为线段上的点，且，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）如图，过作直线与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.‎ ‎21.已知函数，且.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，试判断函数的零点个数.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，设直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎23.设函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.‎ ‎2018年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D C C B A B D D C A 二、填空题 13. ‎-1; 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.解析：（1），求得 ‎ ‎（2） ‎ ‎18.解析：（1）由题意，‎ 解得； ‎ ‎（2）随机变量的所有取值有0,1,2,3,4.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎19.（1）证明：连接，由题意知 ‎,则,‎ 又因为，所以 因为，都在平面内，‎ 所以平面 ；‎ ‎（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，‎ 且与平面所成的角为，有，‎ 则 ‎∴‎ 因为 由（1）知平面，∴ 平面 ‎∴为平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量为，则 ‎∴，令，则，‎ ‎∴为平面的一个法向量.‎ ‎∴‎ 故平面与平面的锐二面角的余弦值为,‎ 所以平面与平面的锐二面角为 ‎20.解析：（1）由题意，即 所以，‎ ‎（2）因为三角形的周长为，所以 由（1）知，椭圆方程为，且焦点，‎ ‎①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，‎ ‎，故. ‎ ‎②若直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去得，‎ 设，则 ‎ 则 代入韦达定理可得 由可得，结合当不存在时的情况，得，‎ 所以最大值是.‎ ‎21.解析：（1）‎ 当时，恒成立，所以函数是上的单调递增函数；‎ 当时，，得，‎ ‎，得，‎ 函数单调递增区间为，减区间为 综上所述，当时，函数增区间为.‎ 当时，函数单调递增区间为，减区间为 ‎ ‎（2）∵，函数的零点，‎ 即方程的根.‎ 令， ‎ 由（1）知当时， 在递减，在上递增，∴.‎ ‎∴在上恒成立.‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎∴，‎ 所以当或时，没有零点，当时有一个零点. ‎ ‎22.(1)直线的参数方程为：‎ ‎， ‎ ‎（2）当时，直线的参数方程为：‎ 代入可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,且无限趋近于4，‎ 综上，的取值范围是