2017-2018学年湖南省六校武冈县二中、隆回县一中高二优生1月联考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省六校武冈县二中、隆回县一中高二优生1月联考数学（理）试题

绝密★启用前 ‎ 邵东县一中 邵阳市一中 邵阳市二中 ‎ 武冈县二中 隆回县一中 双峰县一中 高二优生2018年1月联考试题 ‎ 数学（理科）‎ ‎ ‎ 考试范围：高考全部内容 考试时间：120分钟； 总分：150分 ‎ ★预祝考生考试顺利★‎ 一．选择题：每小题5分，共60分每小题给中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B等于( )‎ A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3}‎ ‎2.设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　）‎ A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x ‎4.阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5.下列说法中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①命题p:“”的否定形式为：“”；‎ ‎② 若，则是的充要条件；‎ ‎③的展开式中第3项的二项式系数为；‎ ‎④设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ=2。‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ 6． 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　）‎ A．12 B．4 C． D．‎ ‎7.曲线y=ex，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（　　）‎ A．e+﹣2 B．e﹣+2 C．e+ D．e﹣﹣2‎ ‎8.已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（　　） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ 10． 已知P是ABC内部一点，且=，在ABC内部随机取点M，则点M取自BCP内的概率为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二．填空题：每小题5分，共20分 ‎13.若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为　 　．‎ ‎14.若，则　 　．‎ ‎15.,则____‎ ‎16.如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：‎ ‎①； ②；③ ； ④‎ 其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出过程或演算步骤.‎ ‎17.（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若a=，则求b+c的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点， CD=PD=AD=AB．‎ ‎（1）求证：CE⊥平面PAB；‎ ‎（2）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．‎ 19． ‎（12分）在某校一次考试中，共有500人参考，其中语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如下图，成绩大于135的为特别优秀，‎ ‎（1）如果成绩大于135的为特别优秀，本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？‎ ‎（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从特别优秀中的同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．‎ ‎（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．‎ ‎①若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．‎ ‎②k2=；‎ ‎③‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ Fn Fn-1‎ F3 …‎ F2‎ F1‎ P1‎ P2‎ Pn-1‎ y x O ‎20.（12分）如图所示， 是抛物线C：的焦点，在x轴上,(其中i=1,2,3,…n),的坐标为（,0）且,在抛物线C上，且在第一象 限是正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求点P1的坐标，及三角形P1F1F2的面积 ‎（II）证明：数列是等差数列；‎ ‎(Ⅲ)记的面积为, 证明: + + +…+‎ ‎21（12分）.已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，‎ 求的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的最大值． ‎ 请考生在22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题记分。‎ ‎22. （10分）‎ 已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线相交于两点，求的最小值.‎ ‎23. （10分）‎ 已知，不等式的解集是.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（II）若存在实数解，求实数的取值范围. ‎ ‎[]‎ ‎ 数学（理科）参考答案 一．选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A C B A B A D C D D B 二． 填空题 13. ‎___4_______．14.__________．15.___21_______．16.__‚ ƒ________．‎ 三． 解答题 ‎17题（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，‎ 利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），--------------2分 即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，‎ 即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=． --------------------6分 ‎（2）若a=，则由正弦定理可得 ==2，‎ ‎∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．‎ 由于，求得 ＜B＜，∴＜B+＜．-------10分 ‎∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．------------------------12分 ‎18．证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF．∵PD=AD，∴DF⊥AP．‎ ‎∵AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，∴AB⊥DF．又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴DF⊥平面PAB． ∵E是PB的中点，F是PA的中点，∴EF∥AB，EF=AB．‎ 又AB∥CD，CD=AB，∴EF∥CD，EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF，‎ ‎∴CE⊥平面PAB．---------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG∥AB，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，∴OG⊥AD．‎ ‎∵BC=，由（Ⅰ）知，DF=，‎ 又AB=4，∴AD=2，∴AP=2AF=2=2，‎ ‎∴△APD为正三角形，∴PO⊥AD，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，∴AB⊥PO．∴PO⊥平面ABCD．---------------------6分 以点O为原点，分别以OA，OG，OP为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系O﹣xyz，．‎ 则P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（，2，），‎ ‎∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（﹣，0，﹣），‎ 设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，∴，‎ 取z=1，则=（﹣，0，1），----9∴cos＜＞===----------11分 设EC与平面PDC所成的角为α，则sinα=cos＜＞=，--------------------------12分 ‎19.解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.52），‎ ‎∴语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X≥135）=（1﹣0.96）×=0.02，‎ 数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×20×=0.024，∴语文特别优秀的500×0.02=10人，‎ 数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．------------------------------------3分 ‎（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，‎ X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）==， P（X=1）==，‎ P（X=2）==， P（X=3）==，-------------------------------6分 ‎∴X的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（X）=0×+1×+2×+3×=．-------------------------------8分 ‎（3）2×2列联：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎6‎ ‎6‎ ‎12‎ 数学不特别优秀 ‎4‎ ‎484‎ ‎488‎ 合计 ‎10‎ ‎490‎ ‎500‎ ‎∴k2=≈144.5＞6.635 ∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． -----------12分 Fn Fn-1‎ F3 …‎ F2‎ F1‎ P1‎ P2‎ Pn-1‎ y x O ‎20.解：(1)由题意可知：F1(1,0),直线P1F1的方程为：‎ 代入抛物线可得3x2-10x+3=0 则 ‎ ‎ -----------------3分 ‎(2) ‎ ‎…….7分 ‎----------------9分 ‎ ‎ ‎ -------------12分 ‎21.解：（Ⅰ）因为，所以，所以的方程为.‎ 依题意， ， . ………2分 ‎ 于是与抛物线切于点，‎ 由得.‎ 所以 ………5分 ‎ ‎（Ⅱ）设,则恒成立.‎ 易得 ‎（1）当时，，∴在上单调递增.‎ ‎①若，则当时满足条件，此时；‎ ‎②若，在上单调递增，知h(x)‎ 所以不恒成立．不满足题意； ………7分 ‎ ‎（2）当时，‎ 令，得，当；‎ 当，‎ ‎∴ ‎ ‎∴.则 令则 令，得由，得；‎ 由，得所以在上单调递增，在上单调递减,‎ 所以，当时， 从而，当时， 的最大值为.‎ 综上， 的最大值为. ………12分 ‎22. 解：（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为 ............4分 ‎（2）将直线的参数方程代入，得. ‎ 设两点对应的参数分别为，则，………6分 ‎∴‎ 当时，的最小值为4. ……………………………..10分 ‎23. 解：（Ⅰ）由, 得，即. ‎ 当时，. ………2分 因为不等式的解集是 所以 解得 当时，. …………4分 因为不等式的解集是 所以 无解. 所以 ………5分 ‎（II）因为 ‎ 所以要使存在实数解，只需. ……8分 ‎ 解得或. ‎ ‎ 所以实数的取值范围是. ……10分