数学文卷·2018届山西省太原五中高三4月阶段性练习（一模）（2018

数学文卷·2018届山西省太原五中高三4月阶段性练习（一模）（2018

太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性检测 高 三 数 学(文)‎ 出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷 (2018.4.2）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、已知复数为虚数单位在复平面内对应的点在第三象限，‎ 则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎3、设，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生人，女生人，乙班有男 生人，女生人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，‎ 则两个班共抽取男生人数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎5、在区间，随机地取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算 口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数 ‎ 学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路 源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输 出的的值为，则输入的的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7、设实数，满足约束条件，‎ 则的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎8、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，，‎ 平面，且，，则球的表面积为（ ）‎ ‎　　 　 　　 　‎ ‎9、已知平面上三点，，构成的三角形及其内 部即为区域，过中的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则当最小时，（ ）‎ ‎ ‎ ‎10、平行四边形中，，，，点在边上，‎ 则的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11、已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，，‎ 则（ ）‎ ‎ ‎ ‎12、定义在上的函数为减函数，且函数的图象关于点对称，若，且，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13、若，则的值为 .‎ ‎14、曲线在点，处的切线在轴上的截距是 .‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎15、如图是某四面体的三视图，‎ 则该几何体最长的棱长为　　　　　.‎ ‎16、已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，，，，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别是，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ A P B C D O A P B C D O 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，对角线与的交点为，‎ ‎，，.‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 点在棱上，若体积， ‎ 求①点的位置；②与平面所成角的正切值.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 在2018年2月K12联盟考试中，我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占94%人，数学成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？‎ ‎（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人，从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．‎ ‎（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．‎ ‎①；‎ ‎②‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 频率/组距 数学成绩 ‎ ‎50 ‎ ‎70 ‎ ‎150 ‎ ‎130 ‎ ‎110 ‎ ‎90 ‎ ‎0.002 ‎ ‎0.005‎ ‎0.018 ‎ ‎0.020 ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知动圆与圆相内切，且与圆相内 切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作直线交曲线于，两个不同的点，且满足∥，的面积为，求直线的方程.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）．‎ （1） 讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．[来源:学科 请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设分别交、于点、，求的面积.‎ ‎23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（2）若，且当时，不等式恒成立，‎ 求实数的取值范围．‎ 太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测答案 高三数学（文）‎ ‎（2018.4.2）‎ 一、选择题(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B B C C D B A C D 二、 填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎ 13.14. 15. 16. ，‎ 三、解答题(本大题6小题，共70分)‎ ‎17.(本小题满分12分）‎ 解：（1）由正弦定理可得：，‎ 从而可得，即.‎ 又为三角形的内角，所以，于是，‎ 又为三角形的内角，所以. （6分）‎ ‎（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，‎ 所以，且，解得，‎ 所以，所以，‎ 所以. （12分）‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 证明：（1）∵，且为中点，∴.‎ 在菱形中，∵，，∴，.‎A P B C D O A P B C D O 又，∴.　　‎ ‎∵，∴，.‎ ‎∵，∴平面；　　　 （5分）‎ ‎（2）①∵，‎ ‎∴，即，∴，为的中点. 　 （7分）‎ ‎②作∥交与点，连结.‎ ‎∵，，∴平面，‎ ‎∴平面，是与平面所成的角.‎ ‎∵，，‎ ‎∴.　　　　　　　　　　 （12分）‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ 解:（1）∵我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有94%人， ‎ ‎∴语文成绩特别优秀的概率为p1=1﹣0.94=0.06，‎ ‎∴语文特别优秀的同学有100×0.06=6人，‎ ‎∵数学成绩特别优秀的概率为p2=0.002×20=0.04，‎ ‎∴数学特别优秀的同学有100×0.04=4人． （4分）‎ ‎（2）语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有4人，‎ 记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的4人分别为B1、B2、B3、B4，从中随机抽取2人，共有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，B3）、（A1，B4）、‎ ‎（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，B3）、（A2，B4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，B3）、‎ ‎（A3，B4）、（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B3，B4）21种，其中这两人两科成绩都优秀的有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3种，‎ ‎∴这两人两科成绩都优秀的概率． （8分）‎ ‎（3）2×2列联表：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ 数学不特别优秀 ‎3‎ ‎93‎ ‎96‎ 合计 ‎6‎ ‎94‎ ‎100‎ ‎∴,‎ ‎∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． （12分）‎ ‎20．(本小题满分12分）‎ 解：（1）设圆的半径为，圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以.‎ 所以圆心的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且，，则，‎ 所以曲线的方程为. （5分）‎ ‎（2）由题意，设，，直线的方程为.‎ 由可得，则，，‎ 所以.‎ 因为∥，所以的面积等于的面积.‎ 又点到直线的距离，‎ 所以的面积，‎ 因为面积为，所以，解得，故直线方程为.（12分）‎ ‎21．(本小题满分12分）‎ 解：（1），， 当时，由，解得，即当时，，单调递增；‎ 由，解得，即当时，，单调递减； 当时，，即在上单调递增； 当时，，故，即在上单调递增． 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为．（6分）‎ ‎（2）由得：， 由已知有两个互异实根，， 由根与系数的关系得，， 因为，是的两个零点，故       ①  ② 由②-①得：，解得， 因为，得， 将代入得 ‎，‎ 所以，  设，因为， 所以，所以，所以，所以 ‎． 构造，得， 则在上是增函数， 所以，即的最小值为．（12分）‎ ‎22．(本小题满分10分）‎ 解：（1）曲线的普通方程：，即.‎ 所以的极坐标方程为，即.‎ 曲线的直角坐标方程：. （5分）‎ ‎（2）依题意，设点、的极坐标分别为.‎ 将代入，得，‎ 将代入，得，‎ 所以，依题意得，点到曲线的距离为.‎ 所以. （10分）‎ ‎22．(本小题满分10分）‎ 解：（1）当时，，则，‎ 由解得：或，即原不等式的解集为. （5分）‎ ‎（2），即，又且，‎ 所以且 所以.即.‎ 令，则，‎ 所以时，，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是. （10分）‎