专题27+直线、平面垂直的判定和性质-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

专题27+直线、平面垂直的判定和性质-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

一、考纲要求：‎ ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．‎ 二、概念掌握及解题上的注意点：‎ ‎1.证明直线和平面垂直的常用方法 (1）)利用判定定理.‎ (2）)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).‎ (3）)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).‎ (4）)利用面面垂直的性质.‎ 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ (5）)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.‎ ‎2.面面垂直的两种证明方法 ‎(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．‎ ‎(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．‎ ‎3．三种垂直关系的转化 ‎4.平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略 (1）)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.‎ (2）)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识找点.‎ 三、高考考题题例分析：‎ 例1.（2018课标卷I节选）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．‎ ‎（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；‎ ‎（‎ ‎【答案】见解析 例2.（2018课标II节选） 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，‎ ‎∴BO⊥AC，且BO=2，‎ 又PA=PC=PB=AC=2，‎ ‎∴PO⊥AC，PO=2，‎ 则PB2=PO2+BO2，‎ 则PO⊥OB，‎ ‎∵OB∩AC=O，‎ ‎∴PO⊥平面ABC；‎ 例3.（2018课标卷III节选）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎【答案】见解析 例4.（2018北京卷节选）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，‎ ‎∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，‎ 又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，‎ ‎∵AB=BC，E是AC的中点，‎ ‎∴BE⊥AC，‎ 又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，‎ ‎∴AC⊥平面BEF． ‎ ‎3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有 (　　)‎ A．平面ABD⊥平面ADC　 B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC ‎4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 (　　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎【答案】C ‎【解析】：选C　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．‎ ‎5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ABC中直角三角形的个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】：选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形．‎ ‎6．如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是 (　　)‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1‎ D．A1C1‎ ‎【答案】D ‎【解析】　易知AC⊥平面BB1D1D．‎ ‎∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D．‎ 又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故选D．‎ ‎7．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎8．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 (　　)‎ A．α⊥β且m⊂α　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β ‎【答案】C ‎【解析】　对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C．‎ ‎9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎【答案】D ‎10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则 (　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎【答案】C ‎【解析】　如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，‎ ‎∴A1E⊥BC1，故C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．‎ 故选C．‎ ‎11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 (　　) ‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF ‎【答案】B ‎12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是 (　　)‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 ‎【答案】A ‎【解析】　由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心． ‎ 二、填空题 ‎13．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．‎ ‎【答案】AB，BC，AC；AB　‎ ‎【解析】∵PC⊥平面ABC，‎ ‎∴PC垂直于直线AB，BC，AC．‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB. ‎ ‎22.如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．‎ ‎ (1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC，请说明理由；‎ ‎(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．‎ ‎【答案】见解析 在△MPC中，MP＝AB＝，‎ MC＝，PC＝＝，‎ ‎∴S△MPC＝××＝.‎ ‎∴点B到平面MPC的距离为＝＝. ‎