数学卷·2018届福建省泉州市晋江市平山中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届福建省泉州市晋江市平山中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年福建省泉州市晋江市平山中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎3．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎4．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0‎ ‎6．在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（　　）‎ A．1 B．3 C．±1 D．±3‎ ‎7．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6=18，则S10的值为（　　）‎ A．35 B．54 C．72 D．90‎ ‎9．正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（　　）‎ A．21 B．18 C．15 D．12‎ ‎10．已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4‎ ‎11．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]‎ ‎12．若A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B则实数a的取值范围是（　　）‎ A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．1＜a＜3 D．1≤a≤3‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=　　．‎ ‎14．已知两个正实数x，y满足x+y=4，则+的最小值是　　．‎ ‎15．已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为　　．‎ ‎16．已知数列{an}满足a8=2，an+1=，则a1=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．设集合A={x|x+2＜0}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}．‎ ‎（1）求集合A∩B；‎ ‎（2）若不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，求a，b的值．‎ ‎18．某环保节能设备生产企业的产品供不应求，已知某种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=150﹣x，每套的售价不低于90万元；月产量x（套）与生产总成本y2（万元）之间满足关系式y2=600+72x，则月生产多少套时，每套设备的平均利润最大？最大平均利润是多少？‎ ‎19．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2，C=．‎ ‎（Ⅰ）若a=，求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．‎ ‎（1）求cos∠B的值；‎ ‎（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an﹣3n．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项an；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省泉州市晋江市平山中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，由此能求出a51．‎ ‎【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，‎ ‎∴数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴a51=2×51﹣1=101．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于 x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，‎ 故函数的最小值是4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】先利用正弦定理求出sinB，再利用同角三角函数的平方关系，可得结论．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=．‎ ‎∵a＞b，A=60°，∴A＞B，‎ ‎∴=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；‎ B、当c=0时，显然不成立；‎ C、当c=0时，显然不成立；‎ D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．‎ ‎【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；‎ B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；‎ C、c=0时， =0，本选项不一定成立；‎ D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，‎ 又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，‎ 故选D ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=（　　）‎ A．1 B．3 C．±1 D．±3‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可知，，可求 ‎【解答】解：∵a1=，a5=9，‎ 由等比数列的性质可知， =1‎ ‎∴a3=±1‎ 当a3=﹣1时， =﹣9不合题意 ‎∴a3=1‎ 故选A ‎　‎ ‎7．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】由已知中△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，根据余弦定理，我们可以求出C角的余弦值，进而根据C为三角形内角，解三角方程可以求出C角．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴cosC==﹣‎ 又∵C为三角形内角 ‎∴C=‎ 故选D ‎　‎ ‎8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6=18，则S10的值为（　　）‎ A．35 B．54 C．72 D．90‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a5+a6=18，‎ 则S10==5（a5+a6）=5×18=90．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（　　）‎ A．21 B．18 C．15 D．12‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】在等比数列{an}，Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m成等比数列，由此利用S3=3，S9=39，能求出S6．‎ ‎【解答】解：正项等比数列{an}中，‎ 设S6=x，‎ ‎∵S3=3，S9=39，‎ ‎∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），‎ 解得x=12，或x=﹣9（舍）．‎ 故S6为12．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据根式函数的性质将定义域转化为ax2﹣ax+1≥0恒成立即可．‎ ‎【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，‎ 若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．‎ 若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，‎ 即，解得0＜a≤4，‎ 综上0≤a≤4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，然后利用Z=的几何意义求解z的范围．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．‎ 因为，‎ 所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．‎ 所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，‎ 经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．‎ 由题意知C（4，0），所以kOP=﹣2，，‎ 所以的取值范围为或z≤﹣2，‎ 即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．若A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B则实数a的取值范围是（　　）‎ A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．1＜a＜3 D．1≤a≤3‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】当3a＞a，即a＞0时，则B={x|a＜x＜3a}；当3a=a，即a=0时，则B=ϕ；当3a＜a，即a＜0，则B={x|3a＜x＜a}．由此分别由A⊆B进行讨论，能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B，‎ ‎∴①当3a＞a，即a＞0时，则B={x|a＜x＜3a}，‎ 由A⊆B，得：，解得1≤a≤2．‎ ‎②当3a=a，即a=0时，则B=ϕ，此时A⊆B不成立；‎ ‎③当3a＜a，即a＜0，则B={x|3a＜x＜a}，‎ 此时A⊆B不成立．‎ 综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=　2n　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列递推式．‎ ‎【分析】由题意知得，由此可知数列{an}的通项公式an．‎ ‎【解答】解：a1=S1=1+1=2，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]‎ ‎=2n．‎ 当n=1时，2n=2=a1，‎ ‎∴an=2n．‎ 故答案为：2n．‎ ‎　‎ ‎14．已知两个正实数x，y满足x+y=4，则+的最小值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y=4，‎ 则+=（x+y）==≥=，当且仅当y=2x=时取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定z的最小值即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ ‎∵z=x2+（y﹣3）2，‎ ‎∴z的几何意义是动点P（x，y）到定义A（0，3）的距离的平方，‎ 由图象可知当点P位于D处时，距离最大，‎ 当P为A在直线y=2x﹣1的垂足时，距离最小，‎ 由点到直线2x﹣y﹣1=0的距离公式得d=|AP|=，‎ ‎∴z的最小值为d．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足a8=2，an+1=，则a1=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足a8=2，an+1=，可得an+3=an．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a8=2，an+1=，‎ ‎∴，解得a7=，同理可得a6=﹣1，a5=2，…，‎ ‎∴an+3=an．‎ 则a1=a7=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．设集合A={x|x+2＜0}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}．‎ ‎（1）求集合A∩B；‎ ‎（2）若不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，求a，b的值．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．‎ ‎【分析】（1）化集合A，B，即可确定出两集合的交集；‎ ‎（2）确定出两集合的并集，由不等式ax2+2x+b＞0的解集为两集合的并集，得到方程ax2+2x+b=0的两根分别为﹣2和1，利用根与系数的关系即可求出a与b的值．‎ ‎【解答】解：（1）集合A={x|x+2＜0}=（﹣∞，﹣2），B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}=（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），‎ ‎∴A∩B=（﹣∞，﹣3），‎ ‎（2）由（1）可求A∪B=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），‎ ‎∴﹣2，1为方程ax2+2x+b=0的两个根，且a＞0，‎ ‎∴﹣2+1=﹣，﹣2×1=，‎ 解得a=2，b=﹣4．‎ ‎　‎ ‎18．某环保节能设备生产企业的产品供不应求，已知某种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=150﹣x，每套的售价不低于90万元；月产量x（套）与生产总成本y2（万元）之间满足关系式y2=600+72x，则月生产多少套时，每套设备的平均利润最大？最大平均利润是多少？‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】列出函数关系式，利用基本不等式判断求解，注意定义域的求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得出：y总利润=x﹣=x2﹣600+78x，‎ ‎150≥90，0＜x≤40，‎ y平均利润=+78，‎ ‎∵≥2=60，（x=20时等号成立）‎ ‎∴最大平均利润是﹣60+78=18（万元）‎ ‎∴月生产20套时，每套设备的平均利润最大，最大平均利润是18万元 ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1，d．即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可得：Sn==n2+2n．bn===，再利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可得：Sn==n2+2n．‎ bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…++‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2，C=．‎ ‎（Ⅰ）若a=，求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理，利用特殊角的三角函数值，结合A的取值范围即可求出A的大小；‎ ‎（Ⅱ）根据三角形的面积和余弦定理，得出关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，a=，‎ 由正弦定理得， =，‎ ‎∴sinA===；‎ 又0＜A＜，‎ ‎∴A=；‎ ‎（Ⅱ）△ABC的面积为 S=absinC=ab=，‎ 解得ab=4；①‎ 由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=c2，‎ 即a2+b2﹣ab=4；②‎ 由①②组成方程组，解得a=b=2．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．‎ ‎（1）求cos∠B的值；‎ ‎（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．‎ ‎（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．‎ 在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．‎ ‎（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，‎ ‎∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．‎ 在△ABC中，由正弦定理可得： =，‎ ‎∴BC===35．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an﹣3n．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项an；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）Sn=2an﹣3n，n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1+3，变形为：an+3=2（an﹣1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）nan=3n×2n﹣3n．设数列{n×2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n×2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出An，再利用等差数列的求和公式进而得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵Sn=2an﹣3n，∴n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]，‎ 化为：an=2an﹣1+3，变形为：an+3=2（an﹣1+3），∴数列{an+3}是等比数列，公比为2．‎ ‎∴an+3=6×2n﹣1，解得an=3×2n﹣3．‎ ‎（II）解：nan=3n×2n﹣3n．‎ 设数列{n×2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n×2n，‎ ‎2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，‎ ‎∴﹣An=2+22+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，‎ ‎∴An=（n﹣1）×2n+1+2．‎ ‎∴数列{nan}的前n项和Tn=6+（3n﹣3）×2n+1﹣3×．‎ 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