2021高考数学一轮复习课时作业51双曲线理

2021高考数学一轮复习课时作业51双曲线理

课时作业51　双曲线 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·北京朝阳区期末]已知双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)‎ A．1 B．13‎ C．17 D．1或13‎ 解析：由题意，双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a＝3，所以c＝＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13，故选B.‎ 答案：B ‎2．[2019·浙江卷]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.‎ 答案：C ‎3．[2020·吉林长春模拟]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：由题意，可得c＝3.又由e＝＝，得a＝2.又b2＝32－22＝5，故双曲线C的方程为－＝1，故选C.‎ 答案：C ‎4．[2020·湖北六校联考]已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 6‎ 为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 解析：依题意得2b＝2，tan 60°＝＝，于是b＝，2c＝×，∴ac＝，a＝，得a＝1，因此该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D.‎ 答案：D ‎5．[2019·天津卷]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∵|AB|＝4|OF|＝4，不妨设A在B上方，‎ ‎∴A(－1,2)，又点A在直线y＝－x上，‎ ‎∴2＝－·(－1)，∴＝2，‎ ‎∴双曲线的离心率e＝＝＝.故选D.‎ 答案：D 二、填空题 6‎ ‎6．[2019·江苏扬州期末]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，离心率e＝＝＝＝.‎ 答案： ‎7．[2020·江西红色七校第一次联考]已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.‎ 解析：将双曲线的方程x2－y2＝2化为－＝1，则a＝b＝，c＝2.因为|PF1|＝2|PF2|　①，所以点P在双曲线的右支上．由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2　②.由①②，得|PF1|＝4，|PF2|＝2.在△PF1F2中，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.‎ 答案： ‎8．[2020·辽宁五校协作体联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1||BF1||BF2|＝341，则双曲线C的离心率为________．‎ 解析：由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2a，因为|BF1||BF2|＝41，所以|BF1|＝4|BF2|，所以3|BF2|＝2a.又|AF1|＝|AF2|，|AF1||BF2|＝31，所以|AF2|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2a.不妨设A(0，b)，因为F2(c,0)，所以|AF2|＝，所以2a＝，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝2c2，所以＝，所以e＝＝，即双曲线C的离心率为.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若|AB|＝6，求k的值．‎ 解析：(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 6‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ 故 即所以1＜k＜.‎ 故k的取值范围为(1，)．‎ ‎(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴|AB|＝· ‎＝2＝6，‎ 整理得28k4－55k2＋25＝0，‎ ‎∴k2＝或k2＝.又1＜k＜，∴k＝.‎ ‎10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．‎ 解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，‎ 故双曲线C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，‎ 得 ‎∴k2<1且k2≠.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ 6‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2‎ ‎＝.‎ 又∵·>2，即x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得0，b>0)上不同的三点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则－＝1，－＝1，又kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝3，所以离心率e＝＝2.故选C.‎ 答案：C ‎12．[2020·河北衡水中学五调]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双 曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：‎ 6‎ 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，∵F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，∴|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，∴|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理，得b＝a，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.‎ 答案：A ‎13．[2019·全国卷Ⅱ]设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝　①，‎ 将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.‎ 答案：A 6‎