数学卷·2018届广西河池市高级中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届广西河池市高级中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

河池高中2018届高三年级上学期第三次月考 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设时虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，.‎ 故选：A ‎ 点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎2. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，，，所以，故选D.‎ ‎3. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.‎ 考点：等比数列 ‎4. 在锐角中，内角所对应的边分别为，若，则角为（ ）‎ A.或 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，又 ‎∴，A为锐角，‎ ‎∴‎ 故选：D ‎5. 函数图像的一个对称中心是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为对称中心的横坐标能够使函数值为0，所以代入检测可知，当时，，故选B.‎ ‎6. 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线在绕过圆心前阴影面积增长的越来越快，过圆心后阴影面积增长的越来越慢了，故选D. ‎ ‎7. 已知是锐角三角形的三个内角，向量，，则和的夹角是（ ）‎ A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】∵是锐角三角形的三个内角，∴A+B＞，即 A＞﹣B＞0，‎ ‎∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴=sinA﹣cosB＞0．‎ 再根据和的坐标可得，不共线，故和的夹角为锐角，‎ 故选：A．‎ ‎8. 函数的图像与直线相交，相邻的两个交点距离为，则的值是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数的图像与直线相交，相邻的两个交点距离为，‎ ‎∴该函数的最小正周期为，∴ω=1，f（x）=tan2x．‎ 则=，‎ 故选：A．‎ ‎9. 已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）‎ A. 20 B. 25 C. 50 D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】根据等比数列的性质，，根据均值不等式，当且仅当时，等号成立，故选A.‎ ‎10. 上的偶函数满足，当时，，则的零点个数为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 5 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由满足，可得：，周期T=2‎ ‎∵0≤x≤1时f（x）=x2，f（x）是R上的偶函数，‎ ‎∴﹣1≤x≤1时，f（x）=x2，‎ 令g（x）=||，‎ 画出函数f（x）和g（x）的图象，‎ 如图示：‎ ‎，‎ 由图象得：函数f（x）和g（x）的交点有5个，‎ ‎∴函数y=f（x）﹣|log5x|的零点个数为5个，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.‎ ‎11. 中，，，，点满足，，若，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得=0，因为，，‎ 所以，，‎ 代入，并化简整理得：，‎ 即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，‎ 解得 λ=，‎ 故选：B．‎ ‎12. 已知定义在上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立，若，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，‎ ‎∴y=f（x）关于y轴对称，‎ ‎∴函数y=xf（x）为奇函数．‎ ‎∵[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），‎ ‎∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，函数y=xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．‎ ‎∵，，，‎ 即，又y=xf（x）在上单调递减 ‎∴．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当直线z＝2x＋y经过直线2x－y＝0与直线x＋y＝3的交点(1，2)时，z取最大值2×1＋2＝4.‎ ‎14. 若锐角的面积为，且，，则__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为 ，所以，，所以．由余弦定理得 ，．‎ 考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．‎ ‎【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和 其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．‎ ‎ ‎ ‎15. 在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项的和，则数列的前18项和的值是__________．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】试题分析：，，‎ ‎．‎ 考点：等差数列的性质．‎ ‎16. 已知函数（是常数且），对于下列命题：‎ ‎①函数的最小值是-1；‎ ‎②函数在上是单调函数；‎ ‎③若在上恒成立，则的取值范围是；‎ ‎④对任意的且，恒有.‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】试题分析：，在R上为增函数，且恒过点（0，-1）；作出的图像（如图），由图像得：的最小值是1，在上单调递减，在单调递增；且在上为凸函数，所以恒有；若f(x)＞0在上恒成立，则，即；故选①③④.‎ 考点：分段函数、函数的图像.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足（），且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等差中项易得为等差数列，求出基本量与，得到数列的通项公式；（2）结合（1）得到，利用裂项相消发求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得为等差数列，‎ 设等差数列的公差为，‎ 由，，解得：，，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）证明： ‎ ‎ ‎ 当，.‎ ‎18. 2016年奥运会于‎8月5日在巴西里约热内卢举行，为了解某单位员工对奥运会的关注情况，对本单位部分员工进行了调查，得到平均每天看奥运会直播时间的茎叶图如下（单位：分钟），若平均每天看奥运会直播不低于70分钟的员工可以视为“关注奥运”，否则 视为“不关注奥运”.‎ ‎（1）试完成下面表格，并根据此数据判断是否有99.5%以上的把握认为是否“关注奥运会”与性别有关？‎ ‎（2）若从参与调查且平均每天观看奥运会时间不低于110分钟的员工中抽取4人，用表示抽取的女员工数，求的分布列和期望值.‎ 参考公式：，其中 ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用已知条件，完成2×2列联表，计算K2，即可判断是否有99.5%以上的把握认为是否“关注奥运”与性别有关．‎ ‎（2）判断ξ的可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）列联表如下：‎ 关注奥运 不关注奥运 合计 男性员工 ‎35‎ ‎10‎ ‎45‎ 女性员工 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 合计 ‎47‎ ‎28‎ ‎75‎ 则 所以，有99.5%以上的把握认为是否“关注奥运会”与性别有关.‎ ‎（2）由条件可知，的可能取值有：0，1，2，3，且 ‎，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 女性员工的期望值为：.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎19. 如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)设中点为，连结，， 由题意可证得就是二面角的平面角. 结合几何关系求得.所以平面平面 ‎(2)结合题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为. ‎ 平面的一个法向量为.利用夹角公式可得二面角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：设中点为，连结，， ‎ 因为，所以.‎ 又，所以. ‎ 所以就是二面角的平面角. ‎ 又由已知，，‎ 所以，. ‎ 又为正三角形，且，‎ 所以. ‎ 因为，所以. ‎ 所以.‎ 所以平面平面 ‎（2）由（1）知，，两两垂直. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易知，，，.‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，则，.‎ 所以平面的一个法向量为. ‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 所以. ‎ 由图可知，二面角为锐角.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20. 已知椭圆 过点，且离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代 数式表示，再结合点在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（2）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为．求出MN的垂直平分线l'方程，由P在l'上，得到,再结合求得k的取值范围．‎ 试题解析：（1）离心率，∴，即（1）‎ 又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得：，，椭圆方程为 ‎（2）设，弦的中点 由，得：，‎ 直线与椭圆交于不同的两点，‎ ‎∴，即，（1）‎ 由韦达定理得：，，‎ 则，，‎ 直线的斜率为：，‎ 由直线和直线垂直可得：，即，代入（1）式，‎ 可得：，即，则或.‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上 式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎21. 已知函数的图像在处的切线为（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用导函数与原函数切线之间的关系得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；‎ ‎(2)结合(1)的结论，原问题等价于对任意恒成立，构造函数令，结合导函数的解析式可知存在唯一的，在单调递减，在上单调递增，且，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1），.‎ 由题意知. ‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎∴对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立. ‎ 令，则.‎ 由于，所以在上单调递增. ‎ 又，，，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 又，即，∴.‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，∴ . ‎ 又因为对任意恒成立，‎ 又，∴ .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）， ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意消去参数即可求得C1的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论结合点到直线距离公式得到距离函数，然后结合三角函数的有界性即可求得的最小值及此时的直角坐标．‎ 试题解析：‎ ‎（1）的普通方程为，的直角坐标方程为 ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为 ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式（其中）.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）把要求的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由（1）求得的最小值为．所以若使有解，只需，由此求得a的范围．‎ 试题解析：（1）不等式的解集为 ‎（2）∵设 故，即的最小值为 所以有解，则，‎ 解得：，即的取值范围是 ‎ ‎ ‎ ‎