2020高中数学第四章函数应用4

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2020高中数学第四章函数应用4

‎4.2 实际问题的函数建模 ‎ [A 基础达标]‎ ‎1.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(  )‎ A.2 000套     B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套 解析:选D.因为利润 =12x-(6x+30 000),‎ 所以 =6x-30 000,由 ≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.‎ ‎2.马先生于两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1 000元,设这种手机每年降价20 ,那么两年前这部手机的价格为(  )‎ A.1 535.5元 B.1 440元 C.1 620元 D.1 562.5元 解析:选D.设这部手机两年前的价格为a,则有a(1-0.2)2=1 000,解得a=1 562.5元.‎ ‎3.国家规定出版印刷行业税收如下:年收入在280万元及以下的税率为p ,超过280万元的部分按(p+2) 征税,有一公司的实际缴税比率为(p+0.25) ,则该公司的年收入是(  )‎ A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 解析:选D.由题意可知该公司年收入大于280万元,设为x万元.‎ =(p+0.25) ,解得x=320.‎ ‎4.某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为P1、P2、P3,则这三年的年平均增长率为(  )‎ A.(P1+P2+P3)‎ B. C.-1‎ D.1+(P1+P2+P3)‎ 解析:选C.设这三年的年平均增长率为x,企业产值的基数为a,则a(1+x)3=a(1+P1)(1+P2)(1+P3).所以x=-1.‎ ‎5.某生产厂家生产某种产品的总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为(  )‎ A.52 B.52.5‎ C.53 D.52或53‎ 解析:选D.因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),‎ 所以f(x)=105x-x2=-+,‎ 所以x=52或53时,f(x)有最大值.‎ ‎6.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y=a·0.5x+b,‎ 4‎ 现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份该产品的产量为________万件.‎ 解析:由题意有 解得所以y=-2×0.5x+2,所以当x=3时,y=-2×0.53+2=1.75,即3月份此厂的产量为1.75万件.‎ 答案:1.75‎ ‎7.有一段长为‎40 m的篱笆,如果利用已有的一面墙作为一边,围成一块矩形的菜地,已知墙的长度为‎16 m,当菜地的长宽各为________时,菜地的面积最大.‎ 解析:设矩形与墙所对的边为x m,则其邻边为 m,且0≤x≤16,‎ 所以面积S=x×=-(x2-40x)‎ ‎=-(x-20)2+200,‎ 因为0≤x≤16,所以x=16时,菜地面积最大.‎ 即矩形的长为‎16 m,宽为‎12 m时,菜地面积最大.‎ 答案:‎16 m,‎‎12 m ‎8.一个旅社有100间客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现了这样一个规律:如果客房定价为每天每间160元时,入住率为55 ;每间定价为140元时,入住率为65 ;每间定价为120元时,入住率为75 ;每间定价为100元时,入住率为85 .要使每天收入达到最高,每间每天应定价为________.‎ 解析:每间每天定价为160元时,收入为 ‎160×100×55 =8 800元;‎ 每间每天定价为140元时,收入为140×100×65 =9 100元;‎ 每间每天定价为120元时,收入为120×100×75 =9 000元;‎ 每间每天定价为100元时,收入为100×100×85 =8 500元;‎ 所以当每间每天定价为140元时,收入最高.‎ 答案:140元 ‎9.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:‎ 第一套 第二套 椅子高度x(cm)‎ ‎40.0‎ ‎37.0‎ 桌子高度y(cm)‎ ‎75.0‎ ‎70.2‎ ‎(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围);‎ ‎(2)现有一把高‎42.0 cm的椅子和一张高‎78.2 cm的课桌,它们是否配套?为什么?‎ 解:(1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数解析式为y= x+b( ≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,‎ 得所以 4‎ 所以y与x的函数解析式是y=1.6x+11.‎ ‎(2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中,有y=1.6×42+11=78.2.‎ 所以给出的这套桌椅是配套的.‎ ‎10.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).‎ ‎(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级;‎ ‎(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?‎ ‎(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?‎ 解:(1)当声强为10-6W/m2时,由公式Y=10lg得Y=10lg=10lg 106=60(分贝).‎ ‎(2)当Y=0时,由公式Y=10lg得 ‎10lg=0,‎ 所以=1,即I=10-12 W/m2,则最低声强为10-12 W/m2.‎ ‎(3)当声强为5×10-7 W/m2时,声强级为 Y=10lg=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),‎ 因为50+10lg 5>50,所以这两位同学会影响其他同学休息.‎ ‎[B 能力提升]‎ ‎1.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表:‎ 表1 市场供给表 单价(元/ g)‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ ‎3.2‎ ‎3.6‎ ‎4‎ 供给量(1 ‎000 g)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎90‎ 表2 市场需求表 单价(元/ g)‎ ‎4‎ ‎3.4‎ ‎2.9‎ ‎2.6‎ ‎2.4‎ ‎2‎ 需求量(1 ‎000 g)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ 根据上面提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内(  )‎ A.(2.3,2.4) B.(2.4,2.6)‎ C.(2.6,2.8) D.(2.8,2.9)‎ 解析:选C.当供给量与需求量均为70时,供给单价和需求单价相差最小为0.2,其他的均大于0.2,所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡,故选C.‎ ‎2.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为________.‎ 解析:设去年年末生产总值为a,则今年年末生产总值为a(1+p)12,所以年平均增长率为=(1+p)12-1.‎ 答案:(1+p)12-1‎ ‎3.某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+7;③f(x)=logq(x+p),其中p,‎ 4‎ q均为常数且q>1.(注:x表示上市时间,f(x)表示价格,记x=0表示4月1号,x=1表示5月1号,…,以此类推,x∈[0,5])‎ ‎(1)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势,请你选择,并简要说明理由;‎ ‎(2)对(1)中所选的函数f(x),若f(2)=11,f(3)=10,记g(x)=,经过多年的统计发现,当函数g(x)取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号?‎ 解:(1)据题意,该种水果的价格变化趋势是先增加后减少,基本符合开口向下的二次函数的变化趋势,故应该选择②f(x)=px2+qx+7.‎ ‎(2)由f(2)=11,f(3)=10,‎ 解得f(x)=-x2+4x+7.‎ g(x)===-.‎ 所以g(x)=-,此函数在[0,2]上是增加的,在[2,5]上是减少的,‎ 所以当x=2时,g(x)最大.‎ 所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号.‎ ‎4.(选做题)某公司对营销人员有如下规定:①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x(万元),x∈[8,64]时,奖金为y万元,且y=logax,y∈[3, 6],且年销售额越大,奖金越多;③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10 发奖金.‎ ‎(1)求奖金y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x在什么范围内.‎ 解:(1)依题意知y=logax在x∈[8,64]上为增函数,‎ 由题意得所以a=2,‎ 所以y= ‎(2)易知x≥8.‎ 当8≤x≤64时,要使y∈[4,10],‎ 则4≤log2x≤10,所以16≤x≤1 024,所以16≤x≤64.‎ 当x>64时,要使y∈[4,10],‎ 则x∈[4,10],即40≤x≤100,‎ 所以64<x≤100.‎ 综上,当年销售额x在[16,100](万元)内时,年奖金y∈[4,10](万元).‎ 4‎
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