2018-2019学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题 Word版

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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2018-2019 学年高二 4 月月考数 学试题（理科） 第Ⅰ卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.复数 的虚部（ ） A. B. C. 1 D.-1 2. 曲线 在点 处的切线斜率为（ ） A. B. C. D 3. 命题 的否定是（ ） A. ，B. ， C. ，D. ， 4. 函数 的导函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能是（ ） 5.已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.设离散型随机变量 ξ 的分布列如图，则 （ ） A. B. C. D. 7.已知函数 在区间 上的最大值与 最小值分别为 ，则 的值为( ) 2 1z i = + i i− ( ) xf x e= (0,1)A 1 2 e 1 e " 0,ln 1"x x x∀ > ≤ − ( )y f x= ( )y f x′= ( )y f x= 2ln( 2)( ) 2 a x xf x + −= ( 1, )− +∞ a [ 2, )− +∞ ( 2, )− +∞ ( )−∞，- 2 ( , 2]−∞ − p = 1 21 2 − 21+ 2 21 2 ± 3( ) 12 8f x x x= − + [ 3,3]− ,m n -m n ξ 0 1 2 p 1 2p− 1 2 2p x y .A O x y .B O x y .C O x y D. O A. B.0 C.32 D.36 8. 甲、乙、 丙、丁四位同学各自对 ， 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方 法 分 别 求 得 相 关 系 数 与 残 差 平 方 和 ， 如 下 表 ： 则哪位同学的试验结果体现 ， 两变量有更强的线性相关性 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9.集合 ， ，若 成立的一个充分不 必要条件是 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 为了研究高中学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：厘米）的关系，现从哈师 大附中高二学年随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相 关关系，设其回归直线方程为 ．已知 ， ， ．若某 学生的脚长为 24，据此估计其身高约为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） 12. 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ） x y y x ˆˆ ˆy bx a= + 10 1 225i i x = =∑ 10 1 1600i i y = =∑ ˆ 4b = -32 1 2 62A x R x = ∈ < <   { }1 1B x R x m= ∈ − < < + x B∈ x A∈ m 2m ≥ 2m ≤ 2m > 2 2m− < < 160 163 166 170 R ( )f x '( )f x x R∈ '( ) ( )f x f x< (0) 2019f = ( ) 2019 xf x e< ( ). 0,A +∞ 2 1. ( , )B e +∞ ( ). ,0C −∞ 2 1. ( , )D e −∞ − e 1 ,1ex  ∈    ( )0,y ∈ +∞ lnln 1 y yx x a y ++ + = a A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布 ，若分数在 内的概率为 ，估计这次考试分数不超过 分的人数 为 ． 14.曲线 在点 处的切线方程为 ． 15. 给出下列等式： 由以上等式推出一个一般结论：对于 ． 16.已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的是_________________ .（填上所有正确命题的序号） 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分 10 分） 已 知 函 数 ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 的极大值. 3 3y x x= − + (1,3) ( ),0−∞ ( ],0−∞ 2 e ,e     ( ], 1−∞ − 2(90, )N σ ( ]70,110 0.7 70 2 3 1 111 2 2 2 ；× = −× 2 2 3 1 4 1 1+ 11 2 2 2 3 2 3 2 ；× × = −× × × 2 3 3 3 1 4 1 5 1 1+ + 11 2 2 2 3 2 3 4 2 4 2 ；× × × = −× × × ×  2 3 1 4 1 2 1, + +1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 ∗ +∈ × + × × =× × + n nn N n n a 2( ) lnf x ax x x= − + 1 2 1 2, ( )x x x x< 1( ) 0f x > 1( ) 0f x < 10 2a< < 1 02 a− < < 2( ) lnf x x ax b x= + + ( )y f x= (1, (1))f 2 2 0x y− − = ,a b ( )f x 18. （本小题满分 12 分） 设一个口袋中装有 10 个球，其中红球 2 个，绿球 3 个，白球 5 个，这三种球除颜色外完全 相同，从中一次任意选取 3 个，取出后不放回. （Ⅰ）求三种颜色球各取到 1 个的概率； （Ⅱ）设 X 表示取到的红球的个数，求 X 的分布列与数学期望. 19．（本小题满分 12 分） 随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门， 渐渐成为中国人的新习惯.2018 年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台 2018 年移动支 付的笔数占总支付笔数的 . （Ⅰ）从该平台的 2018 年的所有支付中任取 3 笔，求移动支付笔数的期望和方差； （Ⅱ）现有 500 名使用移动支付平台的用户，其中 300 名是城市用户，200 名是农村用户， 调查他们 2018 年个人支付的比例是否达到 ，得到 列联表如下： 个人移动支付比例达到了 个 人 移 动 支 付 比 例 未 达 到 合计 城市用户 270 30 300 农村用户 170 30 200 合计 440 60 500 根据上表数据，问是否有 的把握认为 2017 年个人支付比例达到了 与该用户是否 是城市用户还是农村用户有关？ 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 80% 80% 2 2× 80% 80% 95% 80% ( )2 ≥p kχ k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b a c c d b d −= + + + + 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）若 在 恒成立，求实数 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 2019 年 4 月 21 日至 28 日世界乒乓球锦标赛在匈牙利布达佩斯举办，中国乒乓球队热身选 2( ) axf x e x= ⋅ ( )f x ( ) 1f x < (0, )+∞ a 拔赛中，种子选手 与非种子选手 分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计， 选手 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响. （Ⅰ）若 至少获胜两场的概率大于 ，则 入选征战锦标赛的最终名单，否则不予入选， 问 是否会入选最终的名单？ （Ⅱ）求 获胜场数 的分布列和数学期望. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）设函数 ，讨论函数 极值点的个数，并说明理由. A 1 2 3, ,B B B A 3 2 1, ,4 3 2 A 2 3 A A A X ( ) ( ) 2ln 1 , ( ) ( ).f x x ax g x ax a R= + − = ∈ ( )f x ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )f x 一、选择题：（60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D D B C D A C A B 二、填空题：（20 分） 13、 14、 15、 16、②③ 三、解答题（70 分） 17、（本小题满分 10 分） （1） （2）增区间： 减区间： 极大值为 . 18、（本小题满分 12 分） （1）记“从袋子中任意取三球有三种颜色”为时间 A，则 . （2） 的可能值为 . 所 以 ， 的分布列为： 0.15 2 1 0x y− + = 11 2 ( 1)n n − ⋅ + 1 3 a b = −  = 3(0, )2 3( , )2 +∞ 3 3 3( ) 3ln2 4 2f = − + 1 1 1 2 3 5 3 10 1( ) 4 C C CP A C ⋅ ⋅= = X 0,1,2 3 8 3 10 7( 0) 15 CP X C = = = 2 1 8 2 3 10 7( 1) 15 C CP X C ⋅= = = 1 2 8 2 3 10 1( 2) 15 C CP X C ⋅= = = XX 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 所以， 的数学期望为 . 19、（本小题满分 12 分） （ 1 ） ， 则 移 动 支 付 的 数 学 期 望 为 ， 移 动 支 付 的 数 学 方 差 （2） 所以，没有 的把握认为 2017 年个人支付比例达到了 与该用户是否是城市用户还 是农村用户有关. 20、（本小题满分 12 分） （1） ①若 时， 增区间： ， 减区间： ②若 时， 增区间： 和 ， 减区间： ③若 时， 增区间： ， 减区间： 和 （2） 设 ，则 在 递增 递减 所以，实数 的取值范围为 21、（本小题满分 12 分） 95% 80% X 7 7 1 3( ) 0 1 215 15 15 5E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ = (3,0.8)X B ( ) 2.4E X = ( ) 0.48D x = 2 2 500(270 30 170 30) 2.84 3.841200 300 440 60K × − ×= ≈ <× × × 2'( ) ( 2 ) axf x ax x e= + 0a = (0, )+∞ ( ,0)−∞ 0a > 2( , )a −∞ − (0, )+∞ 2( ,0)a − 0a < 2(0, )a − ( ,0)−∞ 2( , )a − +∞ 2 ln1 2ax xe x a x ⋅ < ⇔ < − ln( ) 2 ( 0)xg x xx = − > min( )a g x< 2 2(1 ln )'( ) xg x x − −= ( )g x (0, )e ( , )e +∞ min 2( ) ( )g x g e e = = − a 2( , )e −∞ − （1）记：“种子选手 与非种子选手 的对抗赛获胜”为事件 “种子选手 至少获胜两场”为事件 选手 最终入选. （2） 的可能值为 . 所 以 ， 的分布列为： 所以， 的数学期望为 . 22、（本小题满分 12 分） （1） ①若 时， 增区间： ， 无减区间 ②若 时， 增区间： ， 减区间： （2） 设 A iB ( 1,2,3)iA i = A C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 17 2( ) ( ) 24 3P C P A A A A A A A A A A A A= + + + = > A X 0,1,2,3 1( 0) 24P X = = 6( 1) 24P X = = 11( 2) 24P X = = 6( 3) 24P X = = X X 23( ) 12E X = 1 1'( ) 1 1 a axf x ax x − −= − =+ + 0a ≤ ( 1, )− +∞ 0a > 1( 1, 1 )a − − + 1( 1 , )a − + +∞ ( ) 2( ) ( ) ln( 1)h x f x g x x ax ax= + = + + − 21 2 1'( ) 21 1 ax ax ah x ax ax x + + −= + − =+ + 2( ) 2 1 ( 1)x ax ax a xφ = + + − > − X 0 1 2 3 P 1 24 6 24 11 24 6 24 ①若 时， ， 在 递增，函数无极值； ②若 时， ， 在 递增，函数无极值； ③ 若 时 ， 令 的 两 个 根 ， 增区间： 和 ， 减区间： 此时函数有两个极值点. ④若 时， 增区间： ， 减区间： 此时函数有一个极值点. 综上所述， ①若 时，无极值点； ②若 时，有 2 个极值点； ③若 时，有一个极值点. 0a = '( ) 0h x > ( )h x ( 1, )− +∞ 80 9a< ≤ '( ) 0h x > ( )h x ( 1, )− +∞ 8 9a > 2( ) 2 1 0x ax ax aφ = + + − = 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 1 1( 1) 1, 1 ,4 4x xφ − = − < < − > − 1( 1, )x− 2( , )x +∞ 1 2( , )x x 0a < 2( 1, )x− 2( , )x +∞ 80 9a≤ ≤ 8 9a > 0a <