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文档介绍
高考数学专题复习:《立体几何中的向量方法》同步训练题
《立体几何中的向量方法》同步训练题 一、选择题 1、正四棱柱中,底面边长为,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点,.则三棱锥的体积V ( ) A. B. C . D. 2、如图,图 ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3、如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱,图 ∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4、正四棱锥的高,底边长,则异面直线和之间的距离( ) A. B. C . D. A A1 D C B B1 C1 图 5、已知是各条棱长均等于的正三棱柱,是侧棱的中点.点到平面的距离( ) A. B. C. D. 6、在棱长为的正方体中,则平面与平面间的距离 ( ) A. B. C . D. 7、在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 ( ) A. B. C. D. 8、在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.则与平面ABD所成角的余弦值 ( ) A. B. C. D. 9、在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 10、正三棱柱的底面边长为3,侧棱,D是CB延长线上一点,且,则二面角的大小 ( ) A. B. C . D. 二、填空题 11、在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求点到截面的距离 . 12、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1和C1D1的中点,点A1到平面DBEF的距离 . 13、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 . 14、在正方体中,为的中点,则异面直线和间的距离 . 三、解答题 15、(14分)如图5:正方体ABCD-A1B1C1D1,过线段BD1上一点P(P平面ACB1)作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G. (1)求证:平面EFG∥平面A CB1,并判断三角形类型; (2)若正方体棱长为a,求△EFG的最大面积,并求此时EF与B1C的距离. 16、(12分)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小 17、(12分)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证:平面A1EF∥平面B1MC. 18、(12分)在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角. (1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. 19、(12分)已知棱长为1的正方体AC1,E、F分别是B1C1、C1D的中点. (1)求证:E、F、D、B共面; (2)求点A1到平面的BDEF的距离; (3)求直线A1D与平面BDEF所成的角. 20、(14分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,求: (Ⅰ)D1E与平面BC1D所成角的大小; (Ⅱ)二面角D-BC1-C的大小; (Ⅲ)异面直线B1D1与BC1之间的距离. 以下是答案 一、选择题 1、C;解 以D为坐标原点,建立如图10所示的直角坐标系, 则 , , ,, ∴ ,, , ∴ , ∴ , 所以 , 设 平面的方程为:,将点代入得 , ∴ , ∴ 平面的方程为:,其法向量为 , ∴点到平面的距离, ∴ 即为所求. 评析 (1)在求点到平面的距离时,有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到. (2) 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等. 2、A; 3、A; 4、C; 分析:建立如图所示的直角坐标系,则 A B C D O S 图 , , , ,. ,. 令向量,且,则, ,, ,. 异面直线和之间的距离为: . 5、A;分析: 为正方形,,又平面平面,面,是平面的一个法向量,设点到平面的距离为,则 = == . 6、B;分析:建立如图所示的直角坐标系, A B C D A1 B1 C1 D1 E 图 设平面的一个法向量,则,即, ,平面与平面间的距离 7、D; 8、B;解 以C为坐标原点,CA所在直线为轴,CB所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系, 设, 则 ,,, ∴ , , ,, ∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G, ∴ 平面ABD, ∴ ,解得 . ∴ , , ∵ 平面ABD, ∴ 为平面ABD的一个法向量. 由 ∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为. 评析 因规定直线与平面所成角,两向量所成角,所以用此法向量求出的线面角应满足. 9、B; 10、A;取BC的中点O,连AO.由题意 平面平面,, ∴平面, 以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系, 则 ,,,, ∴ , , , 由题意 平面ABD, ∴ 为平面ABD的法向量. 设 平面的法向量为 , 则 , ∴ , ∴ , 即 . ∴ 不妨设 , 由 , 得. 故所求二面角的大小为. 评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:“找——证——求”直接简化成了一步曲:“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神. (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取时,会算得,从而所求二面角为,但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”. 二、填空题 11、分析:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. A E A1 D C B B1 C1 D1 F 图 则. ,; 设面的法向量为, 则有:, , ,又,所以点到截面的距离为=. 12、1;解:如图建立空间直角坐标系, =(1,1,0) ,=(0,,1), =(1,0,1) 设平面DBEF的法向量为=(x,y,z),则有: 即 x+y=0 y+z=0 z x B A1 y F E B1 C1 D1 D C A 令x=1, y=-1, z=, 取=(1,-1,),则A1到平面DBEF的距离 13、解:如图建立空间直角坐标系,=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,,1)E z x D1 y A C1 B1 A1 B D C 设平面ABC1D1的法向量为=(x,y,z), 由 可解得=(1,0,1) 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则, 14、分析:设正方体棱长为,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设和公垂线段上的向量为,则,即,,,又,,所以异面直线和间的距离为. 三、解答题 15、(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC,EG∥B1C,FG∥AB1来证明,而我们借用向量法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.) (1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可. 证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,a),B1(a,a,a),E(xE,0,a),F(0,yF,a),G(0,0,zG). ∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),(-xE,yF,0),=(-a,a,0),=(-a,0,-a), ∵·=(-a,-a,a)·(0,a,a)=0, ∴⊥ , 同理 ⊥, 而与不共线且相交于点A, ∴⊥平面ACB1,又已知⊥平面EFG, ∴ 平面EFG∥平面ACB1; 又因为⊥平面EFG,所以 ⊥, 则·=0, 即 (-a,-a,a)·(-xE,yF,0)=0, 化简得 xE-yF=0; 同理 xE-zG=0, yF-zG=0, 易得 ==, ∴ △EFG为正三角形. (2)解:因为△EFG是正三角形,显然当△EFG与△A1C1D重合时,△EFG的边最长,其面积也最大,此时,=A1C1=·a, ∴= = ·sin600 = (·a)2· =·a2 . 此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离,由于两异面直线所在平面平行,所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离,记A1C1与B1D1交于点O1,作O1H∥D1B并交BB1于点H,则O1H⊥平面A1C1D,垂足为O1,则O1(,,a),H(a,a,),而作为平面A1C1D的法向量, 所以异面直线EF与B1C的距离设为d是 d = ==·a. (证明(2)时一般要找到求这两平面距离的两点,如图5*,而这两点为K与J,在立体图形中较难确定,且较难想到通过作辅助线DO1,OB1来得到,加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱,但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想,结合题设,使思路清晰明了,最终使问题的解决明朗化;把握这种思想,不管是空间线线距离,线面距离,面面距离问题,一般我们都能转化成点线或点面距离,再借助平面法向量很好地解决了.) 16、z y x D1 A1 D B1 C1 C B A 解:如图建立空间直角坐标系,=(-1,1,0),=(0,1,-1) 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量, 由 可解得=(1,1,1) 易知=(0,0,1), 所以,= 所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 -arccos. 注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求 出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小. 17、F y E M x z D1 C1 B1 A1 C D B A 证明:如图建立空间直角坐标系, 则=(-1,1,0),=(-1,0,-1) =(1,0,1), =(0,-1,-1) 设,,(、、 ,且均不为0) 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量, 由 可得 即 解得:=(1,1,-1) 由 可得 即 解得=(-1,1,-1),所以=-, ∥, 所以平面A1EF∥平面B1MC. 注:如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用⊥来证明. 18、(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,故BE⊥PD. (2)解:以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点C、D的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0). ∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°. 于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,∴E(0,a) 于是,={-a,a,0} 设与的夹角为θ,则由 cosθ= AE与CD所成角的余弦值为. 评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段. 19、解:(1)略. (2)如图,建立空间直角坐标系D—xyz, 则知B(1,1,0), 设 得则 令. 设点A1在平面BDFE上的射影为H,连结A1D,知A1D是平面BDFE的斜线段. 即点A1到平面BDFE的距离为1. (3)由(2)知,A1H=1,又A1D=,则△A1HD为等腰直角三角形, 20、解:A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 建立坐标系如图,则、,, ,,,,, ,,. (Ⅰ)不难证明为平面BC1D的法向量, ∵ ∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为 (即). (Ⅱ)、分别为平面BC1D、BC1C的法向量, ∵ ,∴ 二面角D-BC1-C的大小为. (Ⅲ)∵ B1D1∥平面BC1D,∴ B1D1与BC1之间的距离为.查看更多