高考数学专题复习:《立体几何中的向量方法》同步训练题

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高考数学专题复习:《立体几何中的向量方法》同步训练题

‎《立体几何中的向量方法》同步训练题 一、选择题 ‎1、正四棱柱中,底面边长为,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点,.则三棱锥的体积V ( )‎ ‎ A. B. C . D.‎ ‎2、如图,图 ABCD—A1B‎1C1D1是正方体,B1E1=D‎1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎3、如图,A1B‎1C1—ABC是直三棱柱,图 ∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A‎1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎4、正四棱锥的高,底边长,则异面直线和之间的距离( )‎ ‎ A. B. C . D.‎ A A1‎ D C B B1‎ C1‎ 图 ‎5、已知是各条棱长均等于的正三棱柱,是侧棱的中点.点到平面的距离( )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎6、在棱长为的正方体中,则平面与平面间的距离 ( )‎ ‎ A. B. C . D.‎ ‎7、在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8、在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.则与平面ABD所成角的余弦值 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9、在正三棱柱ABC—A1B‎1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为( )‎ ‎ A.60° B.90° C.105° D.75°‎ ‎10、正三棱柱的底面边长为3,侧棱,D是CB延长线上一点,且,则二面角的大小 ( )‎ ‎ A. B. C . D.‎ 二、填空题 ‎11、在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求点到截面的距离 .‎ ‎12、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分别是B‎1C1和C1D1的中点,点A1到平面DBEF的距离 .‎ ‎13、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 .‎ ‎14、在正方体中,为的中点,则异面直线和间的距离 .‎ 三、解答题 ‎15、(14分)如图5:正方体ABCD-A1B‎1C1D1,过线段BD1上一点P(P平面ACB1)作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G.‎ ‎(1)求证:平面EFG∥平面A CB1,并判断三角形类型;‎ ‎(2)若正方体棱长为a,求△EFG的最大面积,并求此时EF与B‎1C的距离.‎ ‎16、(12分)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1,求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小 ‎17、(12分)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F、M分别是A‎1C1、A1D和B‎1A上任一点,求证:平面A1EF∥平面B1MC.‎ ‎18、(12分)在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=‎2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.‎ ‎(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;‎ ‎(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.‎ ‎19、(12分)已知棱长为1的正方体AC1,E、F分别是B‎1C1、C1D的中点.‎ ‎(1)求证:E、F、D、B共面;‎ ‎(2)求点A1到平面的BDEF的距离;‎ ‎(3)求直线A1D与平面BDEF所成的角.‎ ‎20、(14分)已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,求:‎ ‎(Ⅰ)D1E与平面BC1D所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)二面角D-BC1-C的大小;‎ ‎(Ⅲ)异面直线B1D1与BC1之间的距离.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C;解 以D为坐标原点,建立如图10所示的直角坐标系,‎ 则 , ,‎ ‎,,‎ ‎∴ ,,‎ ‎, ‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ 所以 ,‎ 设 平面的方程为:,将点代入得 ‎, ∴ ,‎ ‎ ∴ 平面的方程为:,其法向量为 ‎, ∴点到平面的距离,‎ ‎∴ 即为所求.‎ 评析 (1)在求点到平面的距离时,有时也可直接利用点到平面的距离公式  计算得到.‎ ‎(2) 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等.‎ ‎2、A;‎ ‎3、A;‎ ‎4、C;‎ 分析:建立如图所示的直角坐标系,则 A B C D O S 图 ‎,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 令向量,且,则,‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 异面直线和之间的距离为:‎ ‎.‎ ‎5、A;分析:‎ 为正方形,,又平面平面,面,是平面的一个法向量,设点到平面的距离为,则 ‎=‎ ‎== .‎ ‎6、B;分析:建立如图所示的直角坐标系,‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ E 图 设平面的一个法向量,则,即,‎ ‎,平面与平面间的距离 ‎7、D;‎ ‎8、B;解 以C为坐标原点,CA所在直线为轴,CB所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系, ‎ 设,‎ 则 ,,, ‎ ‎∴ , , ,, ‎ ‎∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G, ‎ ‎∴ 平面ABD, ∴ ,解得 .‎ ‎∴ , ,‎ ‎∵ 平面ABD, ∴ 为平面ABD的一个法向量.‎ 由 ‎ ‎∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为.‎ 评析 因规定直线与平面所成角,两向量所成角,所以用此法向量求出的线面角应满足.‎ ‎9、B;‎ ‎10、A;取BC的中点O,连AO.由题意 平面平面,,‎ ‎∴平面,‎ 以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系,‎ 则 ,,,, ‎ ‎ ∴ , , ,‎ 由题意 平面ABD, ∴ 为平面ABD的法向量.‎ 设 平面的法向量为 ,‎ 则 , ∴ , ∴ ,‎ 即 . ∴ 不妨设 ,‎ 由 ,‎ ‎ 得. 故所求二面角的大小为.‎ 评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:“找——证——求”直接简化成了一步曲:“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.‎ ‎(2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取时,会算得,从而所求二面角为,但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.‎ 二、填空题 ‎11、分析:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ A E A1‎ D C B B1‎ C1‎ D1‎ F 图 则.‎ ‎,;‎ 设面的法向量为,‎ 则有:,‎ ‎,‎ ‎,又,所以点到截面的距离为=.‎ ‎12、1;解:如图建立空间直角坐标系,‎ ‎=(1,1,0) ,=(0,,1), =(1,0,1) ‎ ‎ 设平面DBEF的法向量为=(x,y,z),则有:‎ ‎ 即 x+y=0 ‎ ‎ y+z=0‎ z x B A1‎ y F E B1‎ C1‎ D1‎ D C A 令x=1, y=-1, z=, 取=(1,-1,),则A1到平面DBEF的距离 ‎13、解:如图建立空间直角坐标系,=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,,1)‎E z x D1‎ y A C1‎ B1‎ A1‎ B D C 设平面ABC1D1的法向量为=(x,y,z),‎ 由 可解得=(1,0,1)‎ ‎ 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则,‎ ‎14、分析:设正方体棱长为,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设和公垂线段上的向量为,则,即,,,又,,所以异面直线和间的距离为.‎ 三、解答题 ‎15、(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC,EG∥B‎1C,FG∥AB1来证明,而我们借用向量法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.)‎ ‎(1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可.‎ 证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,a),B1(a,a,a),E(xE,0,a),F(0,yF,a),G(0,0,zG).‎ ‎∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),(-xE,yF,0),=(-a,a,0),=(-a,0,-a),‎ ‎∵·=(-a,-a,a)·(0,a,a)=0,‎ ‎∴⊥ ,‎ 同理 ⊥,‎ 而与不共线且相交于点A,‎ ‎∴⊥平面ACB1,又已知⊥平面EFG,‎ ‎∴ 平面EFG∥平面ACB1;‎ 又因为⊥平面EFG,所以 ⊥,‎ 则·=0, ‎ 即 (-a,-a,a)·(-xE,yF,0)=0,‎ 化简得 xE-yF=0;‎ 同理 xE-zG=0, yF-zG=0,‎ 易得 ==,‎ ‎ ∴ △EFG为正三角形.‎ ‎(2)解:因为△EFG是正三角形,显然当△EFG与△A‎1C1D重合时,△EFG的边最长,其面积也最大,此时,=A‎1C1=·a,‎ ‎ ∴= ‎ ‎ = ·sin600‎ ‎ = (·a)2·‎ ‎ =·a2 .‎ 此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离,由于两异面直线所在平面平行,所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离,记A1C1与B1D1交于点O1,作O1H∥D1B并交BB1于点H,则O1H⊥平面A1C1D,垂足为O1,则O1(,,a),H(a,a,),而作为平面A1C1D的法向量,‎ 所以异面直线EF与B1C的距离设为d是 d = ==·a.‎ ‎(证明(2)时一般要找到求这两平面距离的两点,如图5*,而这两点为K与J,在立体图形中较难确定,且较难想到通过作辅助线DO1,OB1来得到,加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱,但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想,结合题设,使思路清晰明了,最终使问题的解决明朗化;把握这种思想,不管是空间线线距离,线面距离,面面距离问题,一般我们都能转化成点线或点面距离,再借助平面法向量很好地解决了.)‎ ‎16、z y x D1‎ A1‎ D B1‎ C1‎ C B A 解:如图建立空间直角坐标系,=(-1,1,0),=(0,1,-1)‎ ‎ 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量,‎ ‎ 由 可解得=(1,1,1)‎ 易知=(0,0,1),‎ 所以,=‎ 所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 -arccos.‎ 注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求 ‎ 出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.‎ ‎17、F y E M x z D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ C D B A 证明:如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ 则=(-1,1,0),=(-1,0,-1)‎ ‎ =(1,0,1), =(0,-1,-1)‎ ‎   设,,(、、 ,且均不为0)‎ ‎ 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量,‎ ‎ 由 可得 即 ‎ ‎ ‎ 解得:=(1,1,-1)‎ ‎ 由 可得 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 解得=(-1,1,-1),所以=-, ∥,‎ ‎ 所以平面A1EF∥平面B1MC.‎ 注:如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用⊥来证明.‎ ‎18、(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,故BE⊥PD.‎ ‎(2)解:以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点C、D的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0).‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°.‎ 于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,∴E(0,a)‎ 于是,={-a,a,0}‎ 设与的夹角为θ,则由 cosθ=‎ AE与CD所成角的余弦值为.‎ 评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.‎ ‎19、解:(1)略.‎ ‎(2)如图,建立空间直角坐标系D—xyz,‎ 则知B(1,1,0),‎ 设 得则 令.‎ 设点A1在平面BDFE上的射影为H,连结A1D,知A1D是平面BDFE的斜线段.‎ 即点A1到平面BDFE的距离为1.‎ ‎(3)由(2)知,A1H=1,又A1D=,则△A1HD为等腰直角三角形,‎ ‎20、解:A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D E x y z 建立坐标系如图,则、,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,,.‎ ‎(Ⅰ)不难证明为平面BC1D的法向量,‎ ‎∵ ‎ ‎∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为 (即).‎ ‎(Ⅱ)、分别为平面BC1D、BC1C的法向量,‎ ‎∵ ,∴ 二面角D-BC1-C的大小为.‎ ‎(Ⅲ)∵ B1D1∥平面BC1D,∴ B1D1与BC1之间的距离为.‎
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