2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若将负数 表示为是虚数单位）的形式，则 等于 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得,‎ 故a=0,b=1,所以a+b=1,故选B.‎ ‎2．从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）‎ A. 60 B. 30 C. 20 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】用间接法解答，总的取法有种. 全部是甲型的有种，全部是乙型的有种，所以至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为35-1-4=30种，故选B.‎ ‎3．已知实数满足，则实数应取值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得由复数相等的概念得 ‎，故选D.‎ ‎4．是一个关于自然数的命题，若真，则真，现已知不真，那么：①不真；②不真；③真；④不真；⑤真；其中正确的结论为（ ）‎ A. ②、④ B. ①、② C. ③、⑤ D. ①、⑤‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于逆否命题和原命题的真假性是一致的，因为若真，则真，所以若 真，则F(K)不真. 如果不真，则F(19)不真. 所以②正确.‎ ‎ 由于F(19)不真，则F（18）不真. 所以④正确，故选A.‎ ‎5．三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种 A. 144 B. 1440 C. 150 D. 188‎ ‎【答案】B ‎【解析】先把四个学生全排列，共有种方法.四名学生有五个空，把三名老师插到五个空里排列，共有种方法，由乘法分步原理得不同的排法有种方法.故选B.‎ ‎6．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A. 1 B. C. 3 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导数的几何意义得 所以=，故选C.‎ ‎7．是的展开式中存在常数项的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】的通项为，如果展开式中存在常数项，所以 所以当n=10时， 的展开式中存在常数项，所以充分性成立.‎ 的展开式中存在常数项时，n不一定等于10，所以必要性不成立.‎ 故选A.‎ ‎8．设，则 （ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】由题得 ‎ ‎，故选C.‎ ‎9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（ ）种 A. 72 B. 63 C. 54 D. 48‎ ‎【答案】D ‎【解析】入选的3名队员中至少有1名老队员，包括两老一新和两新一老，且1，2号中至少有1名新队员的排法 当两老一新时，有C31C21A22=12种排法；‎ 当两新一老时，有C21C32A33=36种排法，‎ 所以共有12+36=48种排法．故选D.‎ ‎10．已知函数是定义在R上的奇函数, , ,则不等式的解集是 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，即x＞0时 是增函数 ‎, ,所以g(x)是偶函数.‎ 所以 在上是减函数.‎ 则不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）,故选A.‎ 点睛：本题的难点在于观察已知条件之后，联想到差的导数公式，从而构造函数，‎ 再研究函数的单调性和奇偶性，研究函数的图像特征,问题迎刃而解.‎ ‎11．若集合，，用表示集合中的元素个数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．‎ ‎【考点】推理与证明．‎ ‎12．已知平行于轴的直线分别交两曲线与于 ，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设平行于轴的直线方程为，由于，‎ 则，而满足 那么 设，则 显然， 时， ，得，此时函数递减； 时， ，得，此时函数递增； ‎ 于是，当时， 有最小值,故选A.‎ 点睛:(1)本题解题主要体现了函数的思想,求的最小值,本题用函数的方法比较适宜.所以先求出函数|AB|的解析式，再求其定义域，最后利用导数求函数的最值.(2)函数的思想是高中数学里一种很重要的思想，大家要理解掌握和灵活运用.‎ 二、填空题 ‎13．在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，‎ 且，则这四位同学的考试成绩的所有__________种；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先从集合里任意取四个数，共有种方法.‎ 再把这四个成绩分配给四个同学，由于要满足，所以只有一种分配方法，所以由乘法分步原理得这四位同学的考试成绩共有15×1=15种，故填15.‎ ‎14．的展开式中的系数是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求中的系数,它的展开式的通项为,‎ 令6-r=4,所以r=2,所以此时它的展开式中的系数是.‎ 同理得的展开式中的系数是.‎ 所以的展开式中的系数是-280+15=-265.故填-265.‎ 点睛：本题主要是理解解题的逻辑， 的展开式中的系数，实际上是展开式中的系数和展开式中的系数的和,所以分别求出再相加即可.‎ ‎15．从中，得出的一般性结论是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：观察等式可以看到，等个等式的等号左边有个数，第一个为，此后依次递增，因此最后一个数字为，而等号右边为，∴得出的一般性的结论是.‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎16．已知直线是函数的切线，则的值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点坐标为，由题得,‎ 则由导数的几何意义得, 因为，‎ 所以，所以k=3. 故填3.‎ 三、解答题 ‎17．已知 ‎（1）若若在复平面上对应的点分别为A,B，求对应用的复数 ‎（2）若 ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用复数的几何意义（向量对应的复数就是终点对应的复数和起点对应的复数之差）求解. (2)第（2）问，先化简，再把代进去化简.‎ 试题解析：（1）所以对应用的复数为2+14i.‎ ‎（2）由题得 ‎ ‎18．请按要求完成下列两题的证明 ‎（1）已知，用分析法证明： ‎ ‎（2）若都是正实数，且用反证法证明： 与中至少有一个成立.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照分析法的格式和步骤分析证明. (2)第（2）问，先假设， ，再找到与已知x+y>2的矛盾即得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 因为，所以1+ab>0,‎ 只需证明，‎ 只需证明a-ab+b-10,‎ 只需证明a(1-b)-(1-b) 0,‎ 只需证明（a-1）（1-b）0‎ 只需证明 因为 所以上式恒成立，故原不等式得证.‎ ‎（2）假设， ，‎ 则， ，‎ 所以，‎ 与条件矛盾，‎ 所以假设不成立，即与中至少有一个成立.‎ ‎19．数列中，已知， .‎ ‎（1）计算的值，并归纳猜想出数列的通项公式；‎ ‎（2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照递推公式求出. 归纳猜想出数列的通项公式 .(2)第（2）问，按照数学归纳法的原理证明自己的猜想.‎ 试题解析：‎ ‎（1） . 故猜想出数列的通项公式.‎ ‎（2）用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当n=1时，左边=，右边=，所以左边=右边，所以n=1时，猜想成立.‎ ‎(2)假设当n=k时， ，则n=k+1时，‎ ‎=右边 所以n=k+1时猜想成立 综合（1）（2）得.‎ ‎20．已知向量 ，若函数 ‎（1）若，求的极大值与极小值。‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求的范围。‎ ‎【答案】（1）极大值为 ，极小值为（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再解方程，再列表得到函数的极大值和极小值. (2)第（2）问，由题得到在（-1,1）上恒成立，再分离参数得到在区间上恒成立，求出t的范围.‎ 试题解析：‎ 当x变化时， 的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 的极大值为 ，极小值为 ‎ ‎（2）由于 ，所以 ‎ 由，若在区间上是增函数，则时， ，即，得在区间上恒成立。‎ 又是对称轴为且开口向上的抛物线，因此，当时， 的最大值为。‎ 因此，所求的范围为 点睛:本题的第（2）问，直接求二次函数在（-1,1）上的最小值也可以，分离参数求最值也可以. 对于求参数的取值范围，用的比较多的是分离参数和分类讨论.‎ ‎21．‎ 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．‎ ‎【答案】猜测两直线斜率之积为或；‎ ‎【解析】试题分析：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，‎ 由于两线垂直，我们知道斜率之积为；‎ 对于方程，若，‎ 则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为或；‎ 证明：设椭圆的一条非过原点的弦为，其两端点的坐标分别为，‎ 中点为，则 ‎，即两斜率之积为．‎ ‎【考点】类比推理、点差法解决椭圆与直线的中点弦问题。‎ 点评：根据圆是长轴和短轴相等的椭圆，在圆中两线斜率之积为，猜测在椭圆中两斜率之积为或，然后证明，证明时注意点差法的应用。‎ ‎22．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．‎ ‎（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．‎ ‎（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．‎ ‎【答案】（1）① ②（2）当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 (km)时，铺设的排污管道总长度最短．‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问第①问，先根据已知把表示成的函数，再利用三角恒等变换的知识化简函数. 第②问，直接利用两点间的距离公式把表示成的函数.(2)第（2）问，先对函数求导，再求出函数的单调区间，最后根据单调区间得到函数的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，‎ 则, 故，又OP＝，‎ 所以， ‎ 所求函数关系式为 ‎ ‎②若OP= (km) ，则OQ＝10－，‎ 所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（2）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ， 是的减函数；当时， ， 是的增函 数，所以函数在=‎ 时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．这时 (km)‎ 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 (km)时，铺设的排污管道总长度最短．‎ 点睛：本题的难点在第（2）问，同学们利用导数求三角函数 的单调性和单调区间的频率不是很高，其实，和一般的函数的原理步骤都是一样的，所以大家按照导数求函数单调区间的常规步骤解答即可.‎