2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学（理科）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎3.满足方程的的值为（ ）‎ A．1，3 B．3，5 C．1，3，5 D．1，3，5，-7 ‎ ‎4.已知，，则可表示不同的值的个数为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．15‎ ‎5.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”；‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中_______两人说对了. （ ）‎ A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙 ‎6.用数学归纳法证明过程中：假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当，其离心率为 ‎，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种 A．120 B．260 C．340 D．420‎ ‎9.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它的下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，则第10行第3个数（从左往右数）为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名，进行一场男女混合双打表演赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的分组方法有（ ）‎ A．60种 B．90种 C．120种 D．180种 ‎11.如图，已知抛物线，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为（ ）‎ A．34 B．37 C．42 D．51‎ ‎12.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知为虚数单位，复数满足，则 ．‎ ‎14.若的二项展开式中的系数为，则 ．‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 ．‎ ‎16.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有 种．（用数学作答）‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17.已知数列满足：，且.‎ ‎（1）求，，的值，并猜想的通项公式；‎ ‎（2）试用数学归纳法证明上述猜想.‎ ‎18.如图所示，直三棱柱中，，，点在线段上.‎ ‎（1）若是中点，证明：平面；‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.‎ ‎20.如图所示，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试确定的值，使得二面角的余弦值为.‎ ‎21.已知椭圆：的离心率为，依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，设与面积之比为（其中为坐标原点），当时，求实数的取值范围.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）求证：对，函数与存在相同的增区间；‎ ‎（2）若对任意的，，都有成立，求正整数的最大值.‎ ‎2018年重庆一中高2019级高二下学期定时练习 数学答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: CBADD 6-10: CBDCA 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 2 15. 16. 528‎ 三、解答题 ‎17.（1）由递推公式可得，，，可猜想.‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设时猜想成立，即，‎ 则时，由可得 ‎，‎ 即：当时，猜想也成立，‎ 由①②可知，当时，.‎ ‎18.（1）连接交于，连接，为中点，为中点，则.‎ 又平面，而平面，故平面.‎ ‎（2）分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，，‎ 设平面法向量为，，，‎ 则，令，则，‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ ‎19.（1），‎ ‎∵在处的切线方程为，∴，，‎ ‎∴，∴，即：.‎ ‎（2），‎ 则，令，则（舍）或，‎ ‎∵在上有最值，‎ ‎∴，∴，即的取值范围为.‎ ‎20.（1）取的中点，连结，，，由题意可得，均为正三角形，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 故可得，，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，‎ 由，可得点的坐标为，‎ 所以，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，可得，‎ 令，则，‎ 又平面的一个法向量为，‎ 由题意得，，‎ 解得或（舍去），‎ 所以当时，二面角的余弦值为.‎ ‎21.（1）∵椭圆的离心率为，且依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，‎ ‎∴，∴，即椭圆方程为.‎ ‎（2）由题意得设直线方程为，其中，代入椭圆方程得：，‎ 则有，从而有，①‎ ‎，②‎ 由①②可得，‎ 由得.又，因，‎ 故，又，‎ 从而有，得，解得或.‎ ‎22.（1），所以在为增函数，在为减函数，‎ 由，‎ 当时，恒成立，则在上单调递增，所以命题成立，‎ 当时，在为减函数，在为增函数，‎ 设得，令得，‎ 在为减函数，在为增函数，且，所以，‎ 同理，所以，所以与存在相同的增区间.‎ 综上：命题成立.‎ ‎（2）证明：对任意的，，都有，‎ 则，‎ 则，所以，‎ 则，由（1）可知，所以有：恒成立.‎ 设，则，且，‎ 由，，‎ 所以在上有唯一实数根，且，‎ 当时为减函数，当时为增函数，‎ 所以，，，所以，‎ 且是正整数，所以，所以的最大值为4.‎ ‎ ‎