数学文卷·2018届福建省福州市2018届高三下学期质量检测（3月）（2018

数学文卷·2018届福建省福州市2018届高三下学期质量检测（3月）（2018

‎2018 年福州市高中毕业班质量检测 文 科 数 学 试 题 本试题卷共 4 页，23 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上 书写作答。在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 ‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。‎ ‎(1) 已知集合 A = {x x = 2k + 1, k Î Z}, B = {x - 1 < x „ 4} ，则集合 A I B 中元素的个数为 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎(2) 已知复数 z = 1 - 2i ，则 z 的虚部是 ‎4 - 3i ‎（A） - 2‎ ‎5‎ ‎（B） - 1‎ ‎5‎ ì y … 0，‎ ‎（C） 1‎ ‎5‎ ‎（D） 2‎ ‎5‎ í î ‎(3) 若 x, y 满足约束条件 ï x - y … 0，‎ ‎则 z = 2x - y 的最小值为 ‎（A） -6‎ ‎ï2x + y - 6 „ 0，‎ ‎（B）0 （C）2 （D）6‎ ‎(4) 已知单位向量 a, b 的夹角为 π ，则 a × (a + 2b) = ‎3‎ ‎（A） 3‎ ‎2‎ ‎（B）1 + 3‎ ‎2‎ ‎‎ ‎（C）2 （D）1 + 3‎ ‎(5) 已知等差数列{an } 的公差为 1，且 a2 , a4 , a7 成等比数列，‎ 则 an = ‎（A） 2n + 1‎ ‎（C） n + 1‎ ‎（B） 2n + 2‎ ‎（D） n + 2‎ ‎(6) 如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗实线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎（A） π + 3‎ ‎12‎ ‎（B） π + 6‎ ‎12‎ ‎（C） π + 3‎ ‎3‎ ‎‎ ‎（D） π + 6‎ ‎3‎ ‎(7) “ b Î (-1，3) ”是“对于任意实数 k ，直线 l : y = kx + b 与圆 C : x2 + ( y - 1)2 = 4 恒有公 共点”的 ‎（A）充分不必要条件 ‎（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎(8) 右面程序框图是为了求出满足1 + 1 + 1 + L + 1 < 1 000 的最大 ‎2 3 n 正整数 n 的值，那么在 和 两个空白框中，可 以分别填入 ‎（A）“ S < 1 000 ”和“输出 i - 1 ”‎ ‎（B）“ S < 1 000 ”和“输出 i - 2 ”‎ ‎（C）“ S … 1 000 ”和“输出 i - 1 ”‎ ‎（D）“ S … 1 000 ”和“输出 i - 2 ”‎ ‎‎ 开始 i = 1, S = 0‎ S = S + 1‎ i i = i + 1‎ 否 是 结束 ‎(9) 过抛物线 C : y2 = 2 px（ p > 0 ）的焦点 F 的直线交 C 于 A, B 两点，若 AF 则 p = ‎‎ = 3 BF ‎= 3 ，‎ ‎（A）3 （B）2 （C） 3‎ ‎2‎ ‎‎ ‎（D）1‎ ‎(10) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的 四面体称之为鳖臑．已知四面体 ABCD 为鳖臑，AB ^ 平面 BCD ，AB = BD = CD = 2 ，‎ 且该鳖臑的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 ‎（A） 3π （B） 2 3π （C） 4 3π （D）12π íe x - e- x ,‎ ‎(11) 设函数 f ( x) = ì0,‎ î ‎x „ 0, 则满足 f ( x2 - 2) > f ( x ) 的 x 的取值范围是 x > 0,‎ ‎（A） (-¥, -1) U (2, +¥ ) ‎（B） (-¥, - 2 ) U ( ‎2 , +¥ ) ‎（C） (-¥, - ‎2 ) U ( 2, +¥ ) ‎（D） ( -¥, -1) U ( ‎2 , +¥ ) n ‎ ‎(12) 在 首 项都为 3 的数列 {an },{bn } 中， an+1 - an = 3 , b2 = 9 , bn +1 - bn < 2 ´ 3 + ,‎ n bn + 2 - bn > 8 ´ 3‎ ‎- 1 ，且 bn Î Z ，则数列{an + bn } 的前 50 项的和为 ‎（A）‎ ‎（C）‎ ‎350 + 7 647‎ ‎2‎ ‎351 + 7 647‎ ‎2‎ ‎‎ ‎（B） 350 + 3 825‎ ‎（D） 351 + 3 825‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 (22) 、(23)‎ ‎题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。‎ ‎(13) 函数 f ( x ) = cos( x +)+ cos ( x- )的最大值 ‎ 为 ．‎ ‎(14) 如图，在菱形 ABCD 中， AB = 2, ÐABC = 60° ，以该菱 形的 4 个顶点为圆心的扇形的半径都为 1．若在菱形内 随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是 ‎ ‎(15) 已知 函 数f ( x) 对 任意的 x Î R 都满足 f ( x ) + f ( -x) = 0, f ( x+ )为偶函 数， 当 ‎0 < x „时， f ( x) =- x ，则 f ( 2 017) + f ( 2 018) = ．‎ ‎(16) 已知 F 是双曲线 C : x ‎2 y 2‎ - ‎= 1（ a > 0, b > 0 ）的右焦点，A 是 C 的虚轴的一个端点．若 a2 b2‎ C 的左支上存在一点 P ，使得 PA + PF „ 4a ，则 C 的离心率的取值范围为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17) （本小题满分 12 分）‎ ‎△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 c (sin C - ‎（1）求 A ；‎ ‎‎ ‎3 sin B ) = (a - b)(sin A + sin B ) ．‎ ‎（2）若 BC 边上的高 h = ‎(18) （本小题满分 12 分）‎ ‎3 ，b = ‎7 ，求 △ABC 的面积．‎ 在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，△ABC 为正三角形， C AB = AA1 ，点 D 在棱 BC 上，且 CD = 3BD ，点 E , F 分别 为棱 AB, BB1 的中点．‎ ‎（1）证明： DE ^ 平面 BCC1 B1 ； D ‎（2）若 AB = 4 ，求点 C1 与平面 DEF 的距离． B ‎(19) （本小题满分 12 分）‎ 某技术公司新开发一种产品，分别由 A, B 两条生产 E 线生产．为了检测该产品的某项质量指标值（记为 Z ）， A 现随机抽取这两条生产线的产品各 100 件，由检测结果 得到如下频率分布直方图：‎ ‎‎ C1‎ F B1‎ A1‎ 频率 频率 组距 组距 ‎0.05375‎ ‎0.03500‎ ‎0.01875‎ ‎0.06250‎ ‎0.03375‎ ‎0.02000‎ ‎0.01125‎ ‎0.00625‎ ‎‎ ‎60 68 76 84‎ ‎‎ ‎92 100 质量指标值（Z）‎ ‎‎ ‎0.00625‎ ‎0.00250‎ ‎‎ ‎60 68 76 84‎ ‎‎ ‎92 100 质量指标值（Z）‎ A生产线 ‎B生产线 ‎（1）该公司规定：当 Z … 76 时，产品为正品；当 Z < 76 时，产品为次品．试估计 A, B 两条生产线生产的产品正品率分别是多少？‎ ‎（2）分别估计 A, B 两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用 该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？‎ ‎（3）根据（2）的结果，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于 84 的 产品至少要占全部产品 40%”的规定？‎ ‎(20) （本小题满分 12 分）‎ 在三角形 MAB 中，点 A ( -1, 0) , B (1, 0) ，且它的周长为 6，记点 M 的轨迹为曲线 E ．‎ ‎（1）求 E 的方程；‎ ‎（2）设点 D ( -2, 0) ，过 B 的直线与 E 交于 P, Q 两点，求证： ÐPDQ 不可能为直角．‎ ‎(21) （本小题满分 12 分）‎ 已知函数 f (x) = (ex - 1)( x - a ) + ax ．‎ ‎（1）当 a = 1 时，求 f ( x) 在 x = 1 处的切线方程；‎ ‎（2）若当 x > 0 时， f ( x) > 0 ，求 a 的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多 做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) （本小题满分 10 分）选修 4 - 4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 ‎1 ç 线 C 的极坐标方程为 r cos æq - è ‎p ö ø ‎6 ÷ = 2 .已知点 Q 为曲线 C1 的动点，点 P 在线段 OQ 上，且 满足 OQ × OP = 4 ，动点 P 的轨迹为 C2 ．‎ （1） 求 C2 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 A 的极坐标为(2, )，点 B 在曲线 C 2 上，求△AOB 面积的最大值．‎ ‎(23) （本小题满分 10 分）选修 4 - 5 ：不等式选讲 已知函数 f ( x) = x2 - x + 1．‎ ‎（1）求不等式 f ( x) … 2x 的解集；‎ ‎（2）若关于 x 的不等式 f ( x) … ‎‎ x + a 在[0, +¥) 上恒成立，求 a 的取值范围．‎ ‎2‎