数学文卷·2019届四川省射洪中学高二上学期第二次月考（2017-12）

数学文卷·2019届四川省射洪中学高二上学期第二次月考（2017-12）

数学（文）试卷 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.下列说法正确的是（ A ）．‎ A．梯形一定是平面图形 B．四边形一定是平面图形 C．四边相等的四边形为菱形 D．两个相交平面有不在同一条直线上的三个交点 ‎2.直线的倾斜角是（ B ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（　D　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α ‎4.若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ C ）．‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（　A　）‎ A．6π B． C．12π D．‎ ‎6.对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（　B　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.点关于直线对称的点坐标是（ A ）‎ ‎ B. C. D. ‎8.点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　A　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎9.已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线所得的弦的长度为，则a等于（　C　）‎ A．2 B．6 C．2或6 D．‎ ‎10.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ C ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知直线l：y=x+m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（　C　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．[1，） D．（）‎ ‎12.已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（　B　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在空间直角坐标系中，点，则__________．‎ ‎14.已知直线与直线垂直，那么的值是__________．‎ ‎15.若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为　 3 　．‎ ‎15.3‎ ‎16.已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：‎ ‎①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；‎ ‎②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；‎ ‎③当时，圆C1被直线截得的弦长为；‎ ‎④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．‎ 其中正确命题的序号为 　①③④　．‎ 答案及解析：‎ ‎16.【解答】解：①由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，‎ 得到圆C1的圆心（2cosθ，2sinθ），半径R=1；圆C2的圆心（0，0），半径r=1，‎ 则两圆心之间的距离d==2，而R+r=1+1=2，所以两圆的位置关系是外切，此答案正确；‎ ‎②由①得两圆外切，所以公切线的条数是3条，所以此答案错误；‎ ‎③把θ=代入圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1得：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，‎ 圆心（，1）到直线l的距离d==，‎ 则圆被直线l截得的弦长=2=，所以此答案正确；‎ ‎④由两圆外切得到|PQ|=2+2=4，此答案正确．‎ 综上，正确答案的序号为：①③④．‎ 故答案为：①③④‎ 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-21题12分,第22题14分,共90分）‎ ‎17.（1）求经过点A（3，2），B（﹣2，0）的直线方程．‎ ‎（2）求过点P（﹣1，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎17.（1）2x﹣5y+4=0．‎ ‎（2）3x+y=0，或x+y﹣2=0．‎ ‎18.已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（1）求直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长；‎ ‎（2）求过点M（3，1）的圆C的切线方程．‎ ‎18.（1）‎ ‎（2）3x﹣4y﹣5=0或x=3．‎ ‎19.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．‎ ‎19.（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，‎ ‎∴AE⊥BB1，‎ ‎∵E是正三角形ABC的边BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ 又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，‎ ‎∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面B1BCC1．‎ ‎（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∴S=2×2﹣﹣=，‎ 由（I）知AE⊥平面B1BCC1‎ ‎∴．‎ ‎20.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面BEC1；‎ ‎（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎20.【解答】（本小题12分）‎ 证明：（1）连结B1C，交BC1于F，连结EF，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1C1C是平行四边形，∴F为B1C中点，‎ ‎∵E为A1B1的中点，∴EF∥A1C，‎ ‎∵EF⊂平面BEC1，A1C⊄平面BEC1，‎ ‎∴A1C∥平面BEC1．…‎ 解：（2）取AB中点D，连结DE，DA1，DC，‎ ‎∵E为A1B1中点，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，DE∥CC1，‎ ‎∴四边形C1EDC是平行四边形，∴C1E∥CD，‎ ‎∵C1E⊥A1B1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴CD⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴∠CA1D是A1C与平面ABB1A所成角，‎ ‎∵CD=AC，A1C=，‎ ‎∴sin∠CA1D==，∴．‎ ‎∴A1C与平面ABB1A所成角的大小为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎21.已知O为坐标原点，方程x2+y2+x﹣6y+c=0‎ ‎（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y﹣3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．‎ ‎21.【解答】解：（1）若方程x2+y2+x﹣6y+c=0表示圆，‎ 则D2+E2﹣4F=1+36﹣4c＞0，‎ 解得c＜；…（3分）‎ ‎（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），‎ 则以PQ为直径的圆为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2…（6分）‎ ‎∵PQ为圆C：x2+y2+x﹣6y+c=0与（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2的公共弦，‎ ‎∴PQ方程为（1+2m）x+（﹣6+2n）y+c=0，…（8分）‎ 它与直线l：x+2y﹣3=0为同一条直线，‎ ‎∴，‎ 解得；…（10分）‎ ‎∵（m，n）在直线l：x+2y﹣3=0上，‎ ‎∴将代入，‎ 解得c=3即为所求． …（12分）‎ 法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ为直径的圆过原点O，‎ ‎∴OP⊥OQ，‎ ‎∴kOPkOQ=﹣1，即x1x2+y1y2=0①；…（6分）‎ 由，‎ 消去x得5y2﹣20y+12+c=0，‎ ‎∴y1+y2=4，②；…（8分）‎ 又x1x2=（3﹣2y1）（3﹣2y2）=9﹣6（y1+y2）+4y1y2③；…（10分）‎ 将②③代入①，‎ 解得c=3即为所求．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了二元二次方程表示圆以及直线与圆的应用问题，也考查了方程组以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目．‎ ‎22.已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．‎ ‎（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；‎ ‎（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；‎ ‎（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．‎ ‎22.【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，‎ 则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx，‎ 联立方程组，‎ 消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，‎ 则有：；‎ 所以为定值；‎ ‎（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，‎ 所以，‎ ‎≤，‎ 当且仅当，即时，△CDE的面积最大，‎ 从而，解之得b=3或b=﹣1，‎ 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．‎ 解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，‎ 所以≤2，‎ 当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；‎ 设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，‎ 由，得，‎ 由，得b=3或b=﹣1，‎ 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．‎