2017-2018学年河北张家口市高二下学期5月阶段性测试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 河北张家口市2017-2018学年高二下学期5月阶段性测试数学（理）试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的实数与虚部分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简即可得复数的实部和虚部.‎ 详解：‎ 复数的实数与虚部分别为5，5.‎ 故选：A.‎ 点睛：复数相关概念与运算的技巧 ‎(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．‎ ‎(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．‎ ‎(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．‎ ‎2．的展开式的第二项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据二项式定理展开式，化简即可得到答案。‎ 详解：由二项式定理展开式得 ‎ 所以选B 点睛：本题考查了二项式定理展开式的简单应用，注意符号，属于简单题。‎ ‎3．曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据点坐标判断出点在曲线上。求出y的导函数即为切线的斜率。‎ 详解：点在曲线上，所以 ‎ 所以选C 点睛：本题考查了过曲线上一点的切线斜率问题，导数除法的求导法则，属于简单题。‎ ‎4．若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：通过正态分布曲线，根据对称性可求得的值。‎ 详解：由正态分布的对称性可知，对称轴为 ‎ 所以 关于的对称为 所以 ‎ 所以选D 点睛：本题考查了正态分布曲线的性质，关于对称，是简单题。‎ ‎5．在某校的元旦晚会上有个歌唱类节目，个舞蹈类节目，个小品相声类节目，现要排出一张节目单，要求歌唱类节目不能相邻，则可以排出的节目单的总张数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求不相邻问题，主要用到插空法：先安排无要求的7个人，共有 种方法，再从形成的8个空位中安排5个歌唱节目。‎ 详解：因为歌唱类节目不相邻，所以先安排舞蹈和小品类节目共有 种方法，‎ 形成了8个空，安排5个歌唱类节目，所以有 种安排方法 所以总安排方法为 种方法 所以选C 点睛：本题考查了排列组合问题的综合应用。若求的问题要求相邻，需用“捆绑法”作为一个整体求解；若求的问题要求不相邻，需用“插空法”。根据不同问题选择不同方法，是简单题。‎ ‎6．若函数，，则（ ）‎ A. 与都只有个极值点 B. 无极值，只有个极值点 C. 与都没有极值 D. 有无数个极值点，只有个极值点 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据，，分别求得导函数，。根据导函数两侧的单调性判断是否存在极值点。‎ 详解： ，令，则 （ ）‎ 在左右两侧恒成立，所以无极值 ‎ ，令，得 ‎ 当时，，所以单调递增 当，，所以单调递减 所以在处取得极大值 所以选B 点睛：本题考查了函数与导数的综合应用，根据导函数零点左右两侧的符号判断是否存在极值点，属于中档题。‎ ‎7．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。‎ 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，‎ 由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时 ‎ 当1个正品3个次品时 所以正品数比次品数少的概率为 ‎ 所以选A 点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同。根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题。‎ ‎8．若的展开式的各项系数之和为，则该展开式中的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据各项系数和为96，令可求出；再将多项式乘开，求得 的系数。‎ 详解：根据展开式各项系数和为96，令 ，代入得 ‎ ，可解得 ‎ 代入得 ‎ 所以选D 点睛：本题综合考查了二项式定理的综合应用，根据系数和求参数，再将二项式各项展开求系数，属于中档题。‎ ‎9．一位数学老师在黑板上写了三个向量，，，其中，都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“与平行，且与垂直”，乙回答：“与平行”，丙回答：“与不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测，的值不可能为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.‎ 详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确，‎ 可得且，解得，‎ 则，‎ 可得与不平行，与垂直，‎ 则乙、丙判断不正确符合题意；‎ 若判断正确，甲、丙判断不正确，‎ 可得且且，解得或，‎ 则 或 可得与不平行，与垂直，‎ 则甲、丙判断不正确，符合题意；‎ 若丙判断正确，甲、乙判断不正确，‎ 可得且且 解得且且，‎ 则成立；也成立；也成立.‎ ‎，则甲乙丙判断均错.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.‎ ‎10．已知实数，实数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简复数z，得，复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，结合，，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.‎ 详解：化简复数z，得，‎ 复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，‎ 又 ，，‎ 故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：‎ 复数在复平面内对应的点位于第一象限的概率.‎ 故选：A.‎ 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．‎ ‎(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；‎ ‎(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．‎ ‎11．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，，两人考试时相互独立互不影响，记表示两人中通过雅思考试的人数，则的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：两个人通过的X情况共有0人，1人，2人三种情况，列出分布列，先求得均值；根据方差计算公式可求得方差值。‎ 详解：通过雅思考试人数的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.4‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以选A 点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、均值与方差的求法，关键是清楚X的分布情况，依次求解，属于简单题。‎ ‎12．定义在上的函数的导函数满足，设，，，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造函数，根据判断出为单调递减函数，根据函数单调性即可比较大小。‎ 详解：令 ，‎ 则，因为 所以 所以为上的单调递减函数 所以 ，代入得 ‎ ，同时加1得 即 所以选A 点睛：本题综合考查了函数与导数的综合应用。通过构造函数，利用导函数的符号判断单调性，进而比较大小，综合性强，属于难题。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若复数，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由共轭复数的定义，可求得；根据复数运算和模的定义即可求值。‎ 详解：根据共轭复数定义 ，代入得 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了共轭复数的概念，复数模的求法，主要是计算，属于简单题。‎ ‎14．观察下列各式：‎ ‎ ☉☉ ‎ ‎ ☉☉ ‎ ‎ ☉☉ ‎ ‎ ☉8☉ ‎ ‎ ☉☉ ‎ 根据规律，计算__________．‎ ‎【答案】708.‎ ‎【解析】分析：根据所给5个式子，找到规律，计算要求的式子即可。‎ 详解：根据规律可知，计算的数据等于前面两个数成绩，连着后面两个数成绩。‎ 所以，‎ 所以 点睛：本题考查了归纳推理的综合应用，找出变化规律是解决此类问题的关键，属于中档题。‎ ‎15．用个，个，个组成一个六位数（如），则这样的六位数的总个数为__________．‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】分析：根据最高位不能为0的特征，先安排最高位数字，再依次安排其余位置即可。‎ 详解：最高数位排法有，再安排其它位置有 ，因此共可排成六位数有 个。‎ 点睛：本题考查了排列组合问题的综合应用，主要是注意数字排列问题中最高位不能为零，数位中重复数字的处理，属于中档题。‎ ‎16．若函数恰有个零点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】原问题等价于函数与函数恰有个零点，‎ 当时，，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且：；‎ 当时，分类讨论：‎ 若，则，‎ 若，则，‎ 据此绘制函数图像如图所示，‎ 结合函数图像观察可得的取值范围为.‎ 点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；‎ ‎(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与直线（为参数，）交于点，与曲线交于点（异于极点），且，求.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。‎ ‎（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将代入曲线C和直线方程，求得两个值，根据即可求出m的值。‎ 详解：（1）∵，∴，∴，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（为参数）得，‎ 故直线（为参数）的极坐标方程为.‎ 将代入得，‎ 将代入，得，‎ 则，∴.‎ 点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，属于简单题。‎ ‎18．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数的值域为.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎【答案】(1)，.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据绝对值不等式解法，可直接代入求得，的值。‎ ‎（2）由（1）中，的值，可求得m、n的关系，根据不等式中“1”的代换转化成基本不等式即可证明不等式。‎ 详解：（1）解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）证明：∵，∴ .‎ ‎∵，，∴.‎ 当且仅当，即，时，等号成立.‎ ‎∴，即. ‎ 点睛：本题考查了绝对值不等式的解法，不等式中“1”的代换和基本不等式的用法，综合性较强，属于中档题。‎ ‎19．市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 总计 男性市民 女性市民 总计 ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关？请说明理由.‎ 附：，其中.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关；理由见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据所给条件，容易完成列联表。‎ ‎（2）由，可计算的值，由临界值表即可得到是否判定有关系。‎ 详解：（1）‎ 支持 不支持 总计 男性市民 女性市民 总计 ‎（2）因为的观测值 ，‎ 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关.‎ 点睛：本题考查了独立性检验的基本思想和列联表的综合应用，主要是计算问题，属于简单题。‎ ‎20．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且与曲线交于，两点.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点的极坐标为，若，求.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先求出曲线的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化即可；‎ ‎（2）利用参数的几何意义可得.‎ 详解：（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 即，∵，，∴，‎ 即，此即为曲线的极坐标方程.‎ ‎（2）点的直角坐标为，‎ 设，两点对应的参数为，，‎ 将直线的参数方程代入，得，‎ 则，‎ 由参数的几何意义可知，，，‎ 故.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎21．4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数的解析式可得，零点分段可得的解集为.‎ ‎（2）（方法一）由题意得，由绝对值三角不等式的性质结合题意可知当时，取得最小值，的取值范围为 ‎（方法二）设，则，且当时，取得最小值，故的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 所以当时，由得；‎ 当时，由得；‎ 当时，由得，‎ 综上，的解集为；‎ ‎（2）（方法一）由得，‎ 因为，当且仅当取等号，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 所以，当时，取得最小值，‎ 故，即的取值范围为.‎ ‎（方法二）设，则，‎ 当时，的取得最小值，‎ 所以当时，取得最小值，‎ 故，即的取值范围为.‎ 点睛：绝对值不等式的解法： ‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎22．大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近天的日需求量（单位：千克），整理得下表：‎ 日需求量 频数 以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.‎ ‎（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；‎ ‎（2）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列及其数学期望.‎ ‎【答案】(1)分布列见解析.‎ ‎(2)分布列见解析；元。‎ ‎【解析】分析：（1）根据表格得到该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；（2）若A水果日需求量为140千克，则X=140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）=680元，则P（X=680）==0.1．若A水果日需求量不小于150千克，则X=150×（15﹣10）=750元，且P（X=750）=1﹣0.1=0.9．由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．‎ 详解：（1）的分布列为 ‎ ‎ ‎（2）若水果日需求量为千克，‎ 则 元，‎ 且.‎ 若水果日需求量不小于千克，‎ 则元，且.‎ 故的分布列为 元.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.‎ ‎23．图，从甲地到丙地要经过两个十字路口（十字路口与十字路口），从乙地到丙地也要经过两个十字路口（十字路口与十字路口），设各路口信号灯工作相互独立，且在，，，路口遇到红灯的概率分别为，，，.‎ ‎（1）求一辆车从乙地到丙地至少遇到一个红灯的概率；‎ ‎（2）若小方驾驶一辆车从甲地出发，小张驾驶一辆车从乙地出发，他们相约在丙地见面，记表示这两人见面之前车辆行驶路上遇到的红灯的总个数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)分布列见解析； .‎ ‎【解析】分析：（1）根据独立事件的概率计算，可求得都没有遇到红灯的概率，由对立事件的概率求得至少遇到一个红灯的概率。‎ ‎（2）根据条件可知，遇到红灯个数的分布为，，，，，根据概率可分别求得其概率值，列出分布列，由数学期望的计算公式求得的值。‎ 详解：（1）∵一辆车从乙地到丙地没有遇到一个红灯的概率为，‎ ‎∴一辆车从乙地到丙地至少遇到一个红灯的概率为.‎ ‎（2）的可能取值为，，，，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎∴ .‎ 点睛：本题考查了独立事件的概率和对立事件概率的求法，离散型随机变量的分布列与均值，对概念要清晰，属于简单题。‎ ‎24．知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）若，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)见解析.‎ ‎(3).‎ ‎【解析】分析：（1）根据，代入得到，代入求得点坐标为 ；求出导函数，代入 得到斜率为，因而求得切线方程为。‎ ‎（2）根据导函数，对讨论不同情况下导函数的符号，得到单调区间。‎ ‎（3）根据（2）及恒成立，可得。构造函数，根据及其在上的单调性解关于m的不等式，求得m的取值范围。‎ 详解：（1）当时，，‎ ‎，则，，‎ 故曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎（2） ，‎ 当时，在上单调递减.‎ 当时，若，；若，.‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，若，；若，.‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（3）∵，∴由（2）知.‎ 设，，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴在上单调递增，∴，∴，‎ 故的取值范围为.‎ 点睛：本题综合考查了函数与导数的应用，涉及函数的求导、单调性、极值、恒成立等，综合性强，是高考中常考的题型，属于难点。‎