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文档介绍
数学卷·2018届北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科) 一.选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x﹣y+1=0的斜率是( ) A.1 B.﹣1 C. D. 2.方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为( ) A.(﹣2,0),2 B.(﹣2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 3.若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,则a的值为( ) A.4 B.﹣4 C.1 D.﹣1 4.在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为( ) A.(﹣1,﹣2,3) B.(﹣1,﹣2,﹣3) C.(﹣1,2,﹣3) D.(1,2,3) 5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( ) A. ⇒α∥β B. ⇒m∥n C. ⇒l∥β D. ⇒m⊥γ 6.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 8.实数x,y满足,若μ=2x﹣y的最小值为﹣4,则实数a等于( ) A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.6 二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 9.双曲线=1的渐近线方程是 . 10.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为 . 11.已知命题p:∀x>1,x2﹣2x+1>0,则¬p是 (真命题/假命题). 12.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1),若AB⊥AC,则实数a的值为 . 13.已知点P是圆x2+y2=1上的动点,Q是直线l:3x+4y﹣10=0上的动点,则|PQ|的最小值为 . 14.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1的中点,点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点,且A1P∥平面BCM,PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹的长度为 . 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(10分)已知圆M过点A(0,),B(1,0),C(﹣3,0). (Ⅰ)求圆M的方程; (Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D、E两点,且|DE|=2,求直线l的方程. 16.(10分)已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,定点M(5,0). (Ⅰ)若直线l的斜率为1,求△ABM的面积; (Ⅱ)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形,求直线l的方程. 17.(12分)如图,在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中,D为PC的中点,PA=AB=1,PB=PC=. (Ⅰ)求证:PA⊥平面ABC; (Ⅱ)求BD与平面ABC所成角的大小; (Ⅲ)求二面角D﹣AB﹣C的余弦值. 18.(12分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率; (Ⅱ)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由. 2016-2017学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x﹣y+1=0的斜率是( ) A.1 B.﹣1 C. D. 【考点】直线的斜率. 【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出. 【解答】解:直线x﹣y+1=0的斜率==1. 故选:A. 【点评】本题考查了直线斜率的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2.方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为( ) A.(﹣2,0),2 B.(﹣2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 【考点】圆的一般方程. 【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后,即可得到圆心与半径. 【解答】解:把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+y2=4, 所以圆心坐标为(2,0),半径为2, 故选C. 【点评】此题比较简单,要求学生会把圆的一般方程化为标准方程. 3.若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,则a的值为( ) A.4 B.﹣4 C.1 D.﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出. 【解答】解:∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直,∴ =﹣1,解得a=4. 故选:A. 【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件,考查推理能力与计算能力,属于基础题. 4.在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为( ) A.(﹣1,﹣2,3) B.(﹣1,﹣2,﹣3) C.(﹣1,2,﹣3) D.(1,2,3) 【考点】空间中的点的坐标. 【分析】点(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,﹣c). 【解答】解:在空间直角坐标系中, 点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为(1,2,3). 故选:D. 【点评】本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间直角坐标系的性质的合理运用. 5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( ) A. ⇒α∥β B. ⇒m∥n C. ⇒l∥β D. ⇒m⊥γ 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,m与n相交、平行或异面;在C中,l与β相交、平行或l⊂β;在D中,由线面垂直的判定定理得m⊥γ. 【解答】解:三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,知: 在A中, ⇒α与β相交或平行,故A错误; 在B中, ⇒m与n相交、平行或异面,故B错误; 在C中, ⇒l与β相交、平行或l⊂β,故C错误; 在D中, ⇒m⊥γ,由线面垂直的判定定理得m⊥γ,故D正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用. 6.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:若直线l的方程为y=k(x﹣2), 则直线l过(2,0),是充分条件, 若直线l经过点(2,0), 则直线方程不一定是:y=k(x﹣2), 比如直线:x=0,故不是必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查直线方程问题,是一道基础题. 7.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形. 【解答】解:如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形. 则三棱锥的体积V==. 故选:B. 【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 8.实数x,y满足,若μ=2x﹣y的最小值为﹣4,则实数a等于( ) A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.6 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 联立,解得:A(a﹣1,a), 化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ, 由图可知,当直线y=2x﹣μ过A时,直线在y轴上的截距最大,μ有最小值为:2(a﹣1)﹣a=﹣4, 即a=﹣2. 故选:C. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 9.双曲线=1的渐近线方程是 y=±2x . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】渐近线方程是=0,整理后就得到双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵双曲线标准方程为=1, 其渐近线方程是=0, 整理得y=±2x. 故答案为y=±2x. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题. 10.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2 的周长为 6 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】确定椭圆中a,b,c,由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,进而计算可得△PF1F2的周长. 【解答】解:由题意知:椭圆+=1中a=2,b=,c=1 ∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6. 故答案为:6. 【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识,属于基础题. 11.已知命题p:∀x>1,x2﹣2x+1>0,则¬p是 假命题 (真命题/假命题). 【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定. 【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,写出原命题的否定,进而可得答案. 【解答】解:∵命题p:∀x>1,x2﹣2x+1>0, ∴¬p:∃x>1,x2﹣2x+1≤0, 由x2﹣2x+1=(x﹣1)2>0在x>1时,恒成立, 故¬p为假命题, 故答案为:假命题 【点评】本题考查的知识点是命题的否定,全称命题,难度不大,属于基础题. 12.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1),若AB⊥AC,则实数a的值为 ﹣1 . 【考点】空间向量的数量积运算. 【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=(1,1,﹣2),=(﹣1,a,﹣1),再由向量垂直的性质能求出a. 【解答】解:A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,a,1), =(1,1,﹣2),=(﹣1,a,﹣1), ∵AB⊥AC, ∴=﹣1+a+2=0, 解得a=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查空数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运用. 13.已知点P是圆x2+y2=1上的动点,Q是直线l:3x+4y﹣10=0上的动点,则|PQ|的最小值为 1 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值. 【解答】解:圆心(0,0)到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2.再由d﹣r=2﹣1=1,知最小距离为1. 故答案为:1 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,是基础题. 14.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1的中点,点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点,且A1P∥平面BCM,PQ⊥平面BCM,则点Q的轨迹的长度为 . 【考点】平面与平面之间的位置关系;棱柱的结构特征. 【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心,且与BC平行的线段,进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2,可得答案. 【解答】解:∵点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM, 则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线, 则P点的轨迹是连接侧棱BB1,CC1中点的线段l, ∵Q是底面ABC内的动点,且PQ⊥平面BCM, 则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m, 故线段m过△MBC的重心,且与BC平行, 由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2, 故线段m的长为:×2=, 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,棱柱的几何特征,动点的轨迹,难度中档. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(10分)(2016秋•海淀区期末)已知圆M过点A(0,),B(1,0),C(﹣3,0). (Ⅰ)求圆M的方程; (Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D、E两点,且|DE|=2,求直线l的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(Ⅰ)利用待定系数法,求圆M的方程; (Ⅱ)分类讨论,利用|DE|=2,求直线l的方程. 【解答】解:(Ⅰ)设圆M:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,∴D=2,E=0,F=﹣3 … 故圆M:x2+y2+2x﹣3=0,即(x+1)2+y2=4… (Ⅱ)由(Ⅰ)得,M(﹣1,0). 设N为DE中点,则MN⊥l,|DN|=|EN|=… 此时|MN|==1.…(6分) 当l的斜率不存在时,c=0,此时|MN|=1,符合题意 …(7分) 当l的斜率存在时,设l:y=kx+2,由题意=1,…(8分) 解得:k=,…(9分) 故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…(10分) 综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0 【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 16.(10分)(2016秋•海淀区期末)已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,定点M(5,0). (Ⅰ)若直线l的斜率为1,求△ABM的面积; (Ⅱ)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形,求直线l的方程. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(Ⅰ)AB的斜率为1时,l:y=x﹣1,代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0,求出|AB|,点M到直线AB的距离,即可求△ABM的面积; (Ⅱ)设出过焦点弦的直线方程,与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理表示出x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4,由MA⊥MB,求得k值,进而得出结论. 【解答】解:(Ⅰ)由题意F(1,0),当AB的斜率为1时,l:y=x﹣1 …(1分) 代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…(2分) 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,… 点M到直线AB的距离d==2… ∴△ABM的面积S==8; … (Ⅱ)易知直线l⊥x时不符合题意.可设焦点弦方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2), 代入抛物线方程得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,则 x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4 ∵MA⊥MB, =(x1﹣5,y1),=(x2﹣5,y2), ∴=x1x2﹣5(x1+x2)+25+y1y2=22﹣5×(2+)=0,∴k=.…(9分) 故L的方程为y=(x﹣1)…(10分) 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 17.(12分)(2016秋•海淀区期末)如图,在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中,D为PC的中点,PA=AB=1,PB=PC=. (Ⅰ)求证:PA⊥平面ABC; (Ⅱ)求BD与平面ABC所成角的大小; (Ⅲ)求二面角D﹣AB﹣C的余弦值. 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 【分析】(Ⅰ)推导出PA⊥AB,PA⊥AC,由此能证明PA⊥平面ABC. (Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AP为z轴,平面ABC中垂直于AB的直线为y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出BD与平面ABC所成角. (Ⅲ)求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量,由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值. 【解答】证明:(Ⅰ)∵PA=AB=1,PB=,∴PA⊥AB,…(1分) ∵底面是正三角形,∴AC=AB=1, ∵PC=,∴PA⊥AC,…(2分) ∵AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC, ∴PA⊥平面ABC. … (Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AP为z轴,平面ABC中垂直于AB的直线为y轴, 建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(,0),P(0,0,1),… ∴D(),=(﹣).… 平面ABC的法向量为=(0,0,1),…(6分) 记BD与平面ABC所成的角为θ, 则sinθ==,…(7分) ∴, ∴BD与平面ABC所成角为.…(8分) (Ⅲ)设平面ABD的法向量为=(x,y,z), 则,取y=2,得=(0,2,﹣). …(11分) 记二面角D﹣AB﹣C的大小为α, 则cosα==, ∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为.…(12分) 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 18.(12分)(2016秋•海淀区期末)已知椭圆C: +=1(a>b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,△BF1F2是边长为2的正三角形. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率; (Ⅱ)是否存在过点F2的直线l,交椭圆于两点P、Q,使得PA∥QF1,如果存在,试求直线l的方程,如果不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)由△BF1F2是边长为2的正三角形,a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,e==,即可求得椭圆C的标准方程及离心率; (Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)得,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程,利用韦达定理求得y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,由向量的共线定理求得y2=﹣2y1,即可求得y1和y2,则即可求得m的值,即可求得直线方程;解法2:当直线l⊥x时, =1≠,则PA∥QF1不成立,不符合题意,设直线L的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2,即可求得k的值,求得直线方程. 【解答】解:(Ⅰ)椭圆C: +=1(a>b>0)焦点在x轴上,由△BF1F2是边长为2的正三角形, a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,…(2分) ∴椭圆C的标准方程为,… 椭圆的离心率e==;… (Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)得,F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2). 显然直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my+1, 则,… 整理得:(3m2+4)y2+6my﹣9=0, △=36m2+36(3m2+4)=144m2+144>0, 由韦达定理可知:y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,…(7分) 则=(x1﹣2,y1)=(my1﹣1,y1)=(x2+1,y2)=(my2+2,y2),…(8分) 若PA∥QF1,则(my1﹣1)y2=(my2+2)y1,即y2=﹣2y1,…(9分) 解得:,则y1•y2=﹣,…(10分) 故=,解得:5m2=4,即m=±,…(11分) 故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1, 即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0 …(12分) 解法2:由(Ⅰ)得F1(﹣1,0),F2(1,0),A(2,0), 直线l⊥x时, =1≠,则PA∥QF1不成立,不符合题意.… 可设直线L的方程为y=k(x﹣1)..…(6分) ,消去y,可得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,…(7分) 则△=144(k2+1)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2). 则x1+x2=﹣,①x1•x2=,②.…(8分) =(x1﹣2,y1),=(x2+1,y2). 若PA∥QF1,则∥, 则k(x1﹣2)(x2﹣1)﹣k(x2+1)(x1﹣1)=0. 化简得2x1+x2﹣3=0③.…(9分) 联立①③可得x1=,x2=,…(10分) 代入②可以解得:k=±.…(11分) 故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0.…(12分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题. 查看更多