数学（理）卷·2018届福建省福州市八县一中（福清一中,长乐一中等）高二上学期期末联考（2017-01）

数学（理）卷·2018届福建省福州市八县一中（福清一中,长乐一中等）高二上学期期末联考（2017-01）

‎2016-2017学年第一学期八县（市）一中期末联考 高中 二 年 数学（理） 科试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知，则命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若 B．若 C．若 D．若 ‎4. 若双曲线与椭圆有共同的焦点，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6. 如图，在二面角的棱上有、两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，若二面角的大小为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知点在椭圆上，则的最大值为（　　）‎ A．8 B．7 C．2 D．﹣1‎ ‎8. 已知方程，其中，对的不同取值，该方程不可能表示的曲线是（ ）‎ ‎ A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎9．已知抛物线，过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（ ）‎ A. 22 B. 14 C. 11 D. 8‎ ‎10．给出以下命题：‎ ‎①若，则异面直线与所成角的余弦值为；‎ ‎②若平面与的法向量分别是与，则平面；‎ ‎③已知三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面；‎ ‎④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；‎ 则其中正确的命题个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11. 如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎12. 已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线的斜率分别为，则的值（ ）‎ ‎ A. 大于0 B. 等于0 ‎ ‎ C. 小于0 D. 大于0，等于0，小于0都有可能 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 已知命题，，则该命题的否定是：_______________.‎ ‎14. 直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是 ____________ . ‎ ‎15．设：实数满足（其中0），：2＜≤3．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________．‎ ‎16. 如图，在直三棱柱中，，. 已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点， 若，则线段的长度的取值范围为______________.‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎ 设命题，其中，命题. 如果“”为假命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，且经过点（2，3）.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程和其渐近线方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点（0，），且斜率为.求直线与双曲线有两个公共点时的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直角梯形中，，平面，且， 点为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值． ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知点在抛物线上运动，过点作轴的垂线段，垂足为.动点满足，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线，若经过点的直线与曲线相交于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，试判断直线与 的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ F C ‎ A ‎ D P ‎ ‎ ‎ M B E ‎ 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，分别为的中点，点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，试探究：点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）在（2）的条件下，试求面积的最小值. 2016-2017学年第一学期八县（市）一中期末联考 高二数学(理科)参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C A C A B D C B C B ‎　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. , 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：命题：，‎ 即恒成立 …………………………………………3分 命题：，即方程有实数根，……4分 故 或 ……………………6分 因为“”为假命题，“”为假命题，故为真命题，为假命题……………7分 所以 ……………………………………………………………………………8分 故，即实数的取值范围是 ……………………………………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（-2,0）和（2,0）…………………………1分 据定义有： ……………2分 故，从而所求双曲线C的方程为．……………………4分 其渐近线方程为： ………………………………………………………………6分 法二：由，故所求双曲线C的方程为 ……………4分 其渐近线方程为： ………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由得： …………………………………8分 当，即时，…………………………………………………………9分 若，即时，直线与双曲线相交，有两个公共点；………………………………………………………11分 所以，当，且时，直线与双曲线有两个公共点. ………………12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 解法一：（Ⅰ）取的中点，连接、.‎ 故，且，………………………………1分 又由已知，，且，所以，且， 即四边形为平行四边形 ……………2分 故 …………………………………………………3分 又因为，……………4分 所以.…………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由平面，，故两两垂直，分别以 所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.………………6分 则 因为平面，故即为平面的一个法向量，………………7分 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，令， 得．………………………………9分 ‎ 故.…………………11分 即二面角的余弦值为 ……………………12分 解法二：（Ⅰ）由平面，，故 两两垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 ………………………………………………………1分 则，故，………2分 因为平面，故是平面的一个法向量．………………3分 因为，故， ……………………………………………………4分 而所以.……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因平面，故即为平面的一个法向量 …………7分 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，令， 得．………………………………9分 ‎ 故. ……………………………………………11分 即二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 解（Ⅰ）设，由知点为线段的中点，故…2分 因为点在抛物线上，故，从而 ……………………4分 即曲线的方程为 …………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）判断：直线与垂直, …………………………………………………6分 证明如下：设，，则，，由已知，直线的斜率存在，设其方程为.……………………………………………………7分 由得： ……………………………………………………8分 所以， …………………………………………………………………………9分 因为 ，, ……………………………………………10分 故 ……………………………………………11分 所以直线与垂直. ……………………………………………………………12分 ‎（其它解法参照给分）‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，‎ 所以，故． ………………………………………………………1分 由分别为的中点，得，所以 ………………………2分 ‎ 因为底面，底面，所以． ………………………3分 ‎ 又因为，平面，平面， ………………………4分 所以平面． ………………………………………………………………5分 ‎（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明扣1分）‎ ‎（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，分别以所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 则. ‎ 所以，， ……………………………………………………6分 由已知，，故，‎ 所以，， …………………………………7分 F C ‎ A ‎ D P ‎ ‎ ‎ M B E z y x 设平面的一个法向量为，‎ 由，得 令， 得．…………………………………9分 ‎ 所以， ‎ 所以 ，………10分 化简得，……………………………………………………………11分 故或（舍）………………………………………………………………12分 ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由已知，……………………………………………1分 因为…………………………………………2分 故所求椭圆的方程为 ………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）法一：设，，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，由椭圆对称性知，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点到直线的距离为 …………………………………………………4分 ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为.‎ 联立得：………………………………5分 所以， ………………………………………………6分 由已知，以为直径的圆经过坐标原点，则，且 ‎ …………………………………7分 故 ‎ 化简得，……………………………………………………………………8分 故点到直线的距离为 综上，点到直线的距离为定值 ……………………………………………9分 法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）‎ 设，，‎ ‎①当直线的斜率为0时，由椭圆对称性知，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点到直线的距离为 ………………………………………………4分 ‎②当直线的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为.‎ 联立得： ………………………………5分 所以， ………………………………………………6分 ‎……………8分 化简得，故点到直线的距离为 综上，点到直线的距离为定值 ………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）法一：当直线、直线中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知=1；当直线、直线斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，由得，同理 …………………………10分 故 令，则 故 ……………………………………………………………………………11分 综上，面积的最小值为. …………………………………………………12分 法二：由（Ⅱ），①当直线的斜率不存在时，，‎ ‎②当直线的斜率存在时，，且点到直线的距离为，‎ 故，………………………………………………10分 令，则，‎ 因为，故.……………………………………………………………11分 综上，面积的最小值为.……………………………………………………12分