2018-2019学年福建省泉州市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年福建省泉州市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 福建省泉州市2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若为纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数为纯虚数，得出实部为零，虚部不为零，可求出实数的值。‎ ‎【详解】‎ 为纯虚数，所以，解得，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的概念，考查学生对纯虚数概念的理解，属于基础题。‎ ‎2．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性。‎ ‎【详解】‎ 由解得：或，，‎ 因此，是的充分不必要条件，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件。‎ ‎3．下面给出了四种类比推理：‎ ‎①由实数运算中的类比得到向量运算中的；‎ ‎②由实数运算中的 类比得到向量运算中的；‎ ‎③由向量的性质类比得到复数的性质；‎ ‎④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；‎ 其中结论正确的是 A．①② B．③④ C．②③ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断。‎ ‎【详解】‎ ‎①设与的夹角为，则，，则成立；‎ ‎②由于向量的数量积是一个实数，设，，‎ 所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，‎ 但与不一定共线，不一定成立；‎ ‎③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；‎ ‎④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品. 以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：‎ 薪资/岗位 数据开发 数据分析 数据挖掘 数据产品 由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（ ）‎ A．数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 B．数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 C．数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 D．数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算各岗位的平均薪资，即可比较各岗位平均工资的高低。‎ ‎【详解】‎ 由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为 ‎（万元），‎ 数据分析岗位的平均薪资为（万元），‎ 数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），‎ 数据产品岗位的平均薪资为（万元），‎ 因此，各类岗位的薪资水平高低情况为：数据挖掘数据产品数据开发数据分析，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数的计算，考查学生对数据的收集和分析能力，解题关键就是频率分布表中平均数公式的应用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎5．‎ ‎“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎6．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为，相关指数为.经过分析确定点为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，相关指数为.以下结论中，不正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相关性的正负判断和的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出和的大小关系，将第一个模型中的样本数据中心点代入直线的方程得出的值，由两回归直线的倾斜程度得出两回归直线的斜率大小关系。‎ ‎【详解】‎ 由图可知两变量呈现正相关，故，且，故,‎ 故正确，不正确.‎ 又回归直线必经过样本中心点，所以，正确.‎ 回归直线必经过样本中心点，所以，‎ 所以，也可直接根据图象判断（比较两直线的倾斜程度），故正确。故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查回归直线的性质、相关系数、相关指数的特点，意在考查学生对这些知识点的理解，属于中等题。‎ ‎7．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。‎ ‎【详解】‎ 设点关于极点的对称点为，则,，‎ 所以点的一个极坐标为.故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎8．已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。‎ ‎【详解】‎ 直线的直角坐标方程为，斜率所以.故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。‎ ‎9．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。‎ ‎【详解】‎ 依题意得：、，，‎ 所以，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。‎ ‎10．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。‎ ‎【详解】‎ 由伸缩变换得，代入，有，‎ 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎11．参数方程（为参数）所表示的图象是 A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。‎ ‎【详解】‎ 由题意知将代入，得，‎ 解得，因为，所以.故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。‎ ‎12．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。‎ ‎【详解】‎ 曲线表示半圆：，‎ 所以. ‎ 取，结合图象可得.故选：D。‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎13．不等式的解集是 A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于或，解出即可。‎ ‎【详解】‎ 或或，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的等价条件的应用，属于基础题。‎ ‎14．若，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值进行验证即可。‎ ‎【详解】‎ 取代入，排除A、B、D，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。‎ ‎15．已知，则的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。‎ ‎【详解】‎ 由 而，所以，又，综上，，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较大小，在含有根式的数中，一般采用有理化以及平方的方式来比较大小，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎16．已知，则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为 ，‎ 又，所以，‎ 当且仅当时取，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用。‎ ‎17．若，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为成立，所以，‎ 又，所以，，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。‎ ‎18．若函数没有零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为函数没有零点，‎ 所以方程无实根，‎ 即函数与的图像无交点，‎ 如图所示，则的斜率应满足，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意：‎ ‎（1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题；‎ ‎（2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎19．已知，其中为实数，为虚数单位，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将左边的复数利用乘法法则表示为一般形式，然后利用复数相等，得出虚部相等，求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等条件的应用，在处理复数相等时，将其转化为“实部与实部相等，虚部与虚部相等”这一条件，考查对复数概念的理解，属于基础题。‎ ‎20．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:‎ 甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；‎ 丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.‎ 已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁。‎ ‎【详解】‎ 在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，‎ 太极拳 足球 击剑 游泳 甲 ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ 乙 ‎×‎ ‎√②‎ ‎×‎ 丙 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ 丁 ‎√①‎ 从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，‎ 丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，‎ 由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题。‎ ‎21．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线和曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，然后计算圆心到直线的距离和半径，则直线截圆所得弦长为。‎ ‎【详解】‎ 曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，‎ 所求弦长为.故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几种方法：‎ ‎①几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；‎ ‎②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或 ‎（其中为直线的斜率，且）；‎ ‎③将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。‎ ‎22．已知直线的极坐标方程为，为极点，点在直线上，线段上的点满足，则点的轨迹的极坐标方程为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的极坐标为，的极坐标为，将点的坐标代入直线上得出，由，得，得，代入后化简看得出答案。‎ ‎【详解】‎ 设的极坐标为，的极坐标为.‎ 所以,,且.‎ 由得，即.故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点的极坐标方程，考查相关点法求动点的轨迹方程，解本题的关键在于弄清楚主动点与从动点两点之间极径与极角之间的关系，并用这种相互关系进行替换，考查推理能力，属于中等题。‎ ‎23．若，则的最大值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由绝对值三角不等式可计算出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由绝对值三角不等式可得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用绝对值三角不等式求最值，一般在含多个绝对值时，可采用利用绝对值三角不等式求解，在求解时要注意对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎24．若不等式的解集为，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，得出，函数表示为分段函数的形式，并求出函数的最小值，可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，由题意得.‎ 当时，，当且仅当时，等号成立；‎ 当时，，此时，函数单调递增，‎ 则.‎ 所以，函数的最小值为，因此，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎25．某部门为了解人们对“延迟退休年龄政策”的支持度，随机调查了100人，调查发现持不支持态度的有75人，其中男性占. 分析这个持不支持态度的样本的年龄和性别结构，绘制等高条形图如图所示. ‎ ‎（1）在持不支持态度的人中，45周岁及以上的男女比例是多少？‎ ‎（2）调查数据显示，25个持支持态度的人中有16人年龄在45周岁以下.填写下面的列联表，问能否有的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关？‎ ‎45周岁以下 ‎45周岁及以上 总计 不支持 支持 总计 参考公式及数据：，. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出不支持态度中男性的人数，根据等高条形图求出男性年龄在周岁的人数，并结合等高条形图求出不支持态度中女性年龄在周岁的人数，将两个人数作比值可得出答案；‎ ‎（2）根据题中信息补充列联表，并计算出 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，即可对题中的结论判断正误。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得持不支持态度的75人中有男性人，‎ 由等高条形图可知这40个男性中年龄在45周岁及以上的有人； ‎ 持不支持态度的75人中有女性人， ‎ 由等高条形图可知这35个女性中年龄在45周岁及以上的有人； ‎ 故所求在持不支持态度的人中，45周岁及以上的男女比例是；‎ ‎（2）由已知可得以下列联表：‎ ‎45周岁以下 ‎45周岁及以上 总计 不支持 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 支持 ‎16‎ ‎9‎ ‎25‎ 总计 ‎46‎ ‎54‎ ‎100‎ 计算得的观测值， ‎ 所以有的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等高条形图的应用，考查独立性检验思想的应用，意在考查学生对于数据的分析和应用能力，属于中等题。‎ ‎26．函数令，．‎ ‎（1）求并猜想的表达式（不需要证明）； ‎ ‎（2）与相切，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出和的解析式，结合函数的解析式归纳出函数的解析式；‎ ‎（2）设切点，由函数在点处的切线斜率等于直线，‎ 以及点为直线与函数图象的公共点，利用这两个条件列方程组求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）， ‎ ‎.‎ 猜想 .‎ ‎（2）设切点为，‎ ‎，, ‎ 切线斜率， ‎ 解得. ‎ 所以.‎ 所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理、导数的几何意义，在处理直线与函数相切的问题时，抓住以下两个基本点：‎ ‎（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；‎ ‎（2）切点为切线与函数图象的公共点。‎ 另外，在处理直线与二次曲线或反比例型函数图象相切的问题，也可以将直线与曲线方程联立，利用判别式为零处理。‎ ‎27．‎ 旅游业作为一个第三产业，时间性和季节性非常强，每年11月份来临，全国各地就相继进入旅游淡季，很多旅游景区就变得门庭冷落.为改变这种局面，某旅游公司借助一自媒体平台做宣传推广，销售特惠旅游产品.该公司统计了活动刚推出一周内产品的销售数量，用表示活动推出的天数，用表示产品的销售数量（单位：百件），统计数据如下表所示.‎ 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图，根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型函数的周围.为求出该回归方程，相关人员确定的研究方案是：先用其中5个数据建立关于的回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.试回答下列问题：‎ ‎（1）现令，若选取的是这5组数据，已知，，请求出关于的线性回归方程（结果保留一位有效数字）；‎ ‎（2）若由回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过，则认为得到的回归方程是可靠的，试问（1）中所得的回归方程是否可靠？‎ 参考公式及数据：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为， ；；．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在等式两边取自然对数，得，即，计算出与，将数据代入公式，计算出和，再代入回归方程可得出答案；‎ ‎（2）将和的值代入指数型回归函数，并将和代入，计算估计值与实际值之差的绝对值，看是否都小于，从而确定（1）中所得的回归方程是否可靠。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，又令，故有. ‎ 又，因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 当时，，与检验数据的误差为，不超过； ‎ 当时，，与检验数据的误差为，不超过. ‎ 故可以认为得到的回归方程是可靠的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查非线性回归分析，求非线性回归问题，通常要结合题中的变形，将非线性回归问题转化为线性回归问题求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎28．在直角坐标系中，曲线的方程为.已知，两点的坐标分别为，.‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）若点在曲线位于第一象限的图象上运动，求四边形的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线的参数方程；‎ ‎（2）根据曲线的参数方程设曲线上的点，结合点在第一象限得出，将四边形的面积转化为和的面积之和，并利用角的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数基本性质求出最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的方程为，可化参数方程为 (为参数). ‎ ‎（2）设曲线上的点， ‎ 因为在第一象限，所以. ‎ 连接,则 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 当时，四边形面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。‎ ‎29．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，直线：.‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开，然后利用代入直线和曲线的极坐标方程，即可得出直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）由直线的普通方程得出该直线的倾斜角为，将直线的方程表示为参数方程 ‎（为参数），并将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，然后代入可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线：得直角坐标方程为， ‎ 即的直角坐标方程为：. ‎ 由直线：展开的， ‎ 即． ‎ ‎（2）由（1）得直线的倾斜角为.‎ 所以的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线得：. ‎ 设交点所对应的参数分别为，则 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程的几何意义的应用，对于直线与二次曲线的综合问题，常用的方法就是将直线的参数方程与二次曲线的普通方程联立，利用韦达定理以及的几何意义求解。‎ ‎30．已知函数，不等式的解集为. ‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若方程的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解出不等式，得其解集，利用端点值相等列方程组求实数的值；‎ ‎（2）由，得出，由题意得可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 因为，所以，所以，解得；‎ ‎（2）， ‎ 因为方程解集非空，所以，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查二次方程解的个数问题，解题时充分利用等价条件进行转化，考查化归与转化思想，属于中等题。‎ ‎31．已知函数. ‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若且，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解法一：利用绝对值三角不等式可得出函数的最大值；‎ 解法二：将函数表示为分段函数的形式，利用单调性得出函数的最大值；‎ ‎（2）证法一：由基本不等式得出，再由可证明出所证不等式；‎ 证法二：将代数式变形可得出，由基本不等式得出，再利用不等式的性质可证出所证不等式；‎ 证法三：将代数式变形可得出，令，构造函数，利用二次函数的基本性质求出该函数的最小值，可证明所成不等式。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一：，‎ 当或时，即时，，即；‎ 法二：，当，‎ 综上，，即；‎ ‎（2）法一：因为，，‎ 所以，‎ 因为，所以，，‎ 所以，‎ ‎（当且仅当时取“”号）；‎ 法二：‎ 因为，所以，，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ ‎（当且仅当时取“”号）；‎ 法三：‎ 设 因为，所以， 所以当时，，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的证明，有多种证明方法，证明时应根据题中条件类型合理选择，同时也要注意定值条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎32．已知函数. ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集. ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解法一：将函数表示为分段函数的形式，分段解出不等式，再将各解集去并集可得出不等式的解集；‎ 解法二：利用绝对值的几何意义，利用图形求出不等式的解集；‎ ‎（2）将函数表示为分段函数的形式，求出函数的最小值，利用求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一：当时，， ‎ 由，得：‎ 当，所以；‎ 当，不合题意；‎ 当，所以. ‎ 综上，原不等式的解集为 法二：如图所示：‎ 不等式表示的几何意义为数轴上到和1两点的距离之和大于等，‎ 所以的范围为或，‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）因为，所以 ‎ 结合分段函数图象（折线图），可直观判断：‎ 当时，，故不等式恒成立 ‎ 当时，，解得，即.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1‎ ‎）问考查绝对值不等式的解法，考查零点分段法与几何法解绝对值不等式，第（2）问考查绝对值不等式恒成立问题，转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查计算能力，属于中等题。‎