数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验高级中学校高三“一诊”模拟（期末模拟）（2016

数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验高级中学校高三“一诊”模拟（期末模拟）（2016

成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=‎ ‎ A．0，1] B．0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2.将函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到的图像关于原点对称，则的一个可能取值为 A. B. C. D.‎ 3. 已知是平面内的两条不同直线，直线在平面外，则是的 ‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程在解的个数是 ‎ A．3 B．‎4 C．5 D.6‎ ‎5.设函数,     ‎ ‎ A．3       B．6         C．9       D．12‎ ‎6. 已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是 ‎ A．为真 B．为真 C．为假 D． 为真 ‎7.在ABC中．．则A的取值范围是 ‎ ‎ A．（0，] B． ，） C．（0，] D． ，）‎ ‎8.命题“ 且”的否定形式是 ‎ A.且 B.或 ‎ C.且 D.或 ‎9.从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在150,160)，160,170)，170,180)，180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法中正确的是 图1‎ ‎10.在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）‎ ‎ A.45 B‎.60 C.120 D. 210‎ ‎11.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是 ‎(A) 2  (B) 3 (C) 5  (D) 8‎ ‎12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈0，1]，给出以下四个命题：‎ ‎①平面MENF⊥平面BDD′B′； ‎ ‎②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；‎ ‎③四边形MENF周长L=f（x），x∈0，1]是单调函数；‎ ‎④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为 ‎ A．①④ B．② C．③ D．③④‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎13. 计算定积分___________ ‎ ‎14.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是__________.(填序号)‎ ‎①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样.‎ ‎15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足 则角C的大小为　　　　　　　‎ ‎16 设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2011型增函数”，则实数的取值范围是 ． ‎ 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知且，函数， ，记 ‎ （1）求函数的定义域及其零点；‎ ‎ （2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.‎ ‎ （I）证明：；‎ ‎ （II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：‎ T（分钟）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数（次）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；‎ ‎（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足，其中.‎ ‎ (1)求证是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ (2)设….若对任意的恒成立，求的最小值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 设函数, 其中, 和是实数, 曲线恒与轴相切于坐标原点.‎ ‎ (1) 求常数的值；‎ ‎ (2)当时，讨论函数的单调性；‎ ‎ （3）当时关于的不等式恒成立, 求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ 已知点的极坐标为，曲线 的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）点与点关于轴对称，求曲线上的点到点的距离的取值范围 ‎23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.‎ 成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 BDBBC 6—10 DCDCC 11—12 CC ‎13. 　14、①②③ 15.　 16、‎ ‎17.解：（1）（且）‎ ‎ ，解得，所以函数的定义域为 2分 令，则……（*）方程变为 ‎，，即 解得，……4分 经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为 ‎ 5分 ‎（2）（）‎ ‎， 8分 设，则函数在区间上是减函数，‎ 当时，此时，，所以。 10分 ‎①若，则，方程有1解；②若，则，方程有1解 12分 ‎18.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，‎ 平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作 为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．‎ 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．‎ ‎（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．‎ ‎（II）设平面的法向量则即．‎ 故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则 ‎．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．‎ ‎19.【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为 T（分钟）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的分布列为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）‎ ‎（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”‎ P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91‎ ‎20. (1)证明：∵an＋1＝－ ，∴an＋1＋1＝－＋1＝＝， 2分 由于an＋1≠0，∴＝＝1＋， 3分 ‎∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列． 4分 ＝1＋(n－1)＝n， ∴an＝－1． 6分 ‎(2)∵Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1p－n，‎ ‎∴n＋an＋an＋1＋…＋a2n－1p，‎ 即(1＋an)＋(1＋an＋1)＋(1＋an＋2)＋…＋(1＋a2n－1)p，对任意n∈N*恒成立， 7分 而1＋an＝，‎ 设H(n)＝(1＋an)＋(1＋an＋1)＋…＋(1＋a2n－1)， 8 分 ‎∴H(n)＝＋＋…＋，‎ H(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， 9分 ‎∴H(n＋1)－H(n)＝＋－＝－<0， ‎ ‎∴数列{H(n)}单调递减， 10分 ‎∴n∈N*时，H(n)H(1)＝1，故p.‎ ‎∴p的最小值为1. 12分 ‎21.解： (1) 对求导得: , 根据条件知, 所以. ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ 设 则, , .‎ ‎ 单减, 单增, 单减.‎ ‎(3) 由(1)得, ,‎ ‎ . ‎ ‎①当时, 由于, 所以, 于是在上单调递增, 从而, 因此在上单调递增, 即, 而且仅有; ②当时, 由, 有, 于是在上单调递减, 即, 而且仅有; ③当时, 令, 当时, ‎ ‎, 于是在上单调递减, 从而, 因此在上单调递减, 即， 而且仅有，综上可知, 所求实数的取值范围是.‎ ‎22.试题解析：（1）由题意得点的直角坐标为，曲线的一般方程为．．．．．．．．．．2分 设直线的方程为，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎∵直线过且与曲线 相切，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 即，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴直线的极坐标方程为或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）∵点与点关于轴对称，∴点的直角坐标为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则点到圆心的距离为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 曲线上的点到点的距离的最小值为，最大值为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．‎ ‎9分曲线 上的点到点的距离的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎23.解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a ‎＝|1－a|＋a.‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是2，＋∞).‎