福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高一上学期第一次阶段考试数学试题
2019-2020 学年高一第一次阶段考
数学试卷
一、单选题
1.设全集 ， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
全集 ， ， .
.
故选 C.
2.若 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
f（x）= ，且 f（1）=f（﹣2），可得 2=（﹣2）2+a，解得 a=﹣2．
故选 D．
3.下列各组函数是同一个函数的是（ ）
① ②
③ ④
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①④
【答案】C
【解析】
①定义域和对应关系都一样，是同一函数
{ }1,2,3,4,5U = { }13,5A = , { }2,3,4B = ( )U A B =
{ }2 { }4 ∅
{ }1,2,3,4,5U = { }1,3,5A = { }2,4U A = { }2,3,4B =
( ) { }2,4U A B∩ =
2 0( )
2 0x
x a xf x
x
+ <= ≥
，
， (1) ( 2)f f= − a =
1 1− 2 2−
2 0
2 0x
x a x
x
+
≥
， ＜
，
2 2( ) 2 1 ( ) 2 1f x x x g t t t= − − = − −与 0
0
1( ) ( )f x x g x x
= =与
2 42( ) ( )f x x g x x= =与 ( ) 2 1 ( ) 2 1f x x g x x= − = +与
②定义域都为 ，对应关系一样，是同一函数
③定义域都为 R，对应关系都一样，是同一函数
④对应关系不一样，不为同一函数
故选 C
4.设集合 ， ， ，集合 的真子集的个
数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意集合 A={1，2，3}，B={4，5}，a∈A，b∈B，
那么：a、b 的组合有：（1、4），（1、5），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），
∵ ，∴M={5，6，7，8}，集合 M 中有 4 个元素，
有 24﹣1=15 个真子集．故选：D．
点睛；本题关键要理解集合描述法表示， 的理解是解决本问
题的重要一环.求一个集合子集个数，若一个集合中有 n 个元素，则它有 2n 个子集，有
（2n﹣1）个真子集．
5.若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
或 a＞1
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数函数 为单调递减函数，根据 ，即可求解．
【详解】由题意，对数函数 为单调递减函数，又由 ，
0 0 +− ∞ ∪ ∞（ ，）（ ， ）
{1 2 3}A = ， ， {4 5}B = ， { | }M x x a b a A b B= = + ∈ ∈， ， M
32 31 16 15
{ | }M x x a b= = +
{ | }M x x a b a A b B= = + ∈ ∈， ，
2
3
log 1a < a
0 2
3a< < 2
3a > 2 13 a< <
0 2
3a< <
2
3
logy x= 2
3
2
3
log 1y = =
2
3
logy x= 2
3
2
3
log 1y = =
所以当 时，解得 ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性是解
答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6.函数 与 的图象有可能是( ) ．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 为增函数，排除 A、C，由 B,D 可得
对于 B 中函数 的图象可以看出 ，则 的图象与 轴的交点应在原点
下方，排除 B.选 D.
7.设 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指、对数的单调性直接将 的范围求出来，然后再比较大小.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ； ；
；
所以 ，
2
3
log 1a < 2
3a >
xy a b= + ( )0 1a a> ≠且 y ax b= +
y ax b= + 0 1a< <
xy a b= + 0b < y ax b= + y
3log 7a = 1.12b = 3.10.8c =
b a c< < a c b< < c b a< < c a b< <
, ,a b c
3 3 3log 7 (log 3,log 9)a = ∈ (1,2)a∈ 1.12 2b = >
3.1 00.8 0.8 1c = < =
c a b< <
故选：D.
【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值 分析法（与 比较大小），单调性分析法
（根据单调性直接写出范围）.
8.已知函数 ，则
A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数
C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数
【答案】A
【解析】
分析：讨论函数 的性质，可得答案.
详解：函数 的定义域为 ，且
即函数 是奇函数，
又 在 都是单调递增函数，故函数 在 R 上是增函数。
故选 A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
9.设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
利用对数的换底公式进行验证，
logab·logca＝ ·logca＝logcb，则 B 对．
1 1
1( ) 3 ( )3
x xf x = − ( )f x
( ) 13 3
x
xf x = −
( ) 13 3
x
xf x = − R
( ) ( )1 1 13 3 3 ,3 3 3
x x x
x x xf x f x
−
−
− = − = − + = − − = −
( )f x
1y 3 , 3
x
x y = = − R ( )f x
( )
log log loga c cb b a⋅ = log log loga c cb a b⋅ =
log log loga a abc b c= ⋅ ( )log log loga a ab c b c+ = +
log
log
c
c
b
a
10.函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ，则满足 的
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数 为奇函数，求得 ，再由 ，得到 ，
根据函数的单调性，即可得到 ，即可求解．
【详解】由题意，函数 为奇函数，且 ，则 ，
又由 ，即 ，
因为函数 在 单调递减，所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，故选 D．
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的单调性
与奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11.已知函数 (a>0 且 a≠1)，若 f(0)<0，则此函数的单调递增区间
是( )
A. (－∞，－1] B. [－1，＋∞)
C. D. (－3，－1]
【答案】C
【解析】
【分析】
令 g(x)＝－ －2x＋3，令 g(x)>0，求得函数的定义域，根据 f(0)＝ <0，可得
( )f x ( ),−∞ +∞ (1) 1f = − 1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤
x
[ ]2 2− , [ ]1,1− [ ]0,4 [ ]1,3
( )f x ( ) 11f − = 1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ (1) ( 2) ( 1)f f x f≤ − ≤ −
1 2 1x− ≤ − ≤
( )f x (1) 1f = − ( 1) (1) 1f f− = − =
1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ (1) ( 2) ( 1)f f x f≤ − ≤ −
( )f x ( ),−∞ +∞ 1 2 1x− ≤ − ≤ 1 3x≤ ≤
x [ ]1,3
2( ) log ( 2 3)af x x x= − − +
[ 1,1)−
2x log 3a
0
0，可得－3
( )f x ( , )−∞ +∞ a
1 ,12
[ ]1,2 1 ,2
+∞
[ )1,+∞
( )
1
2 1 0
1 2 1 2 1 1 3 6
a
a
a a a
≥
− >
− + × ≤ − × − +
( ) ( )
( )1
2
f f x x ax f x x a
≤= >
，
，
( )f x ( )1f x
]( a∞− ， ( )2f x ( )a ∞+， ( ) ( )1 2f a f a≤
在 R 上单调递减处理方法同上.
二、填空题
13.函数 定义域为________.
【答案】(1,4]
【解析】
【分析】
根据函数的解析式有意义，得到满足 ，即可求解函数的定义域，得到答案．
【详解】由题意，函数 ，满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，得到
不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14.设集合 ， ，若 ，则实
数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 得 ，对集合 分两种情分别求出实数 的取值范围，最后对 取并集.
【详解】由 得 ，
因为集合 ， ，
当 时，有 ，解得 ，
的
( ) ( )
( )1
2
f f x x ax f x x a
≤= >
，
，
( )( ) lg 1 4f x x x= − + −
1 0
4 0
x
x
− >
− ≥
( )( ) lg 1 4f x x x= − + − 1 0
4 0
x
x
− >
− ≥ 1 4x< ≤
( )f x (1,4]
(1,4]
{ | 2 5}M x x= − < < { | 2 2 1, }N x t x t t R= − < < + ∈ M N N=
t
{ }| 2t t ≤
M N N= N M⊆ N t t
M N N= N M⊆
{ | 2 5}M x x= − < < { | 2 2 1, }N x t x t t R= − < < + ∈
N = ∅ 2 2 1t t− ≥ + 1
3t ≤
当 时，有 解得： ，
综上所述，实数 的取值范围 .
【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，集合间的基本关系，考查分类讨论思想，特别是
对集合是否为空集的两种情况讨论.
15.已知 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】 ，得 ，
即 ，
，故答案为 .
16.已知 ，当 时，其值域是________
【答案】
【解析】
分析】
令 ，因为 ，所以 ，得到函数 ，利用
二次函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，令 ，因为 ，所以 ，
则函数 ，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最小值为 ，
【
N ≠ ∅
2 1 2 ,
2 1 5,
2 2,
t t
t
t
+ > −
+ ≤
− ≥ −
1 23 t< ≤
t ( ,2]−∞
3 1
11 93
x
x
+
− > x
( ), 3−∞ −
3 1
11 93
x
x
+
− >
( ) ( ) ( )3 1 2 13 3x x− + −>
( ) ( )3 1 2 1x x− + > −
3x∴ < − ( ), 3−∞ −
4 3 2 3x xy = − ⋅ + [ ]0,2x∈
3 ,74
2xt = [ ]0,2x∈ [1,4]t ∈ ( ) 2 23 33 3 ( )2 4f t t t t= − + = − +
2xt = [ ]0,2x∈ [1,4]t ∈
( ) 2 23 33 3 ( )2 4f t t t t= − + = − +
3
2t = ( )f t 3 3( )2 4f =
4t = ( )f t (4) 7f =
所以函数 的值域为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了
换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题
17.已知集合 ,集合 ,求 ,
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据函数 性质求得集合 ,根据指数函数的性质，求得集合
，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】由题意，集合 为函数 的定义域,即 ,
集合 为函数 , 的值域,即
则 . ，所以 ．
【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，正确求
解集合 ，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题．
18.化简:（1）
（2）
4 3 2 3x xy = − ⋅ + 3 ,74
3 ,74
( ){ }2= log 1A x y x= + 1 , 02
x
B y y x
= = >
A B ( )RC A B∪
( )0,1A B = ( ) ( , 1]RC A B∪ = −∞ −
( )2log 1y x= + { }= 1A x x > −
{ }0 1B y y= < <
A ( )2log 1y x= + { }= 1A x x > −
B 1
2
x
y = 0x > { }0 1B y y= < <
( )0,1A B = ( 1, )A B = − +∞ ( ) ( , 1]RC A B∪ = −∞ −
,A B
2 1 1 51 1
3 3 6 62 2(2 )( 6 ) ( 3 );a b a b a b− ÷ −
4
ln2
3
27lg 25 2lg 2 log 3e+ + +
【答案】（1）4 ；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据实数指数幂的运算性质，即可求解；
（2）由对数的运算性质，即可求解．
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得
．
（2）由对数的运算性质，可得
．
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，对数的运算性质的应用，其中解答中熟记
实数指数幂和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19.已知函数 是奇函数，
(1)求实数 的取值
(2)若 ，求 的值
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）由函数 是奇函数，得到 ，解得 ，即可求解．
（2）由（1）和 ，得到 ，即可求解．
【详解】（1）由题意，函数 是奇函数，则 ，解得
a 15
4
2 11 1
2 1 1 5 2 1 1 1 1 51 1 3 32 2
3 3 6 6 3 2 6 2 3 62 2
1 5
6 6
(2 )( 6 )(2 )( 6 ) ( 3 ) 4 4
3
a b a ba b a b a b a b a
a b
+ − + −−− ÷ − = = =
−
4
ln2 4
3 3 3
27lg 25 2lg 2 log (lg 25 lg 4) 2 (log 27 log 3)3e+ + + = + + + −
3
1lg100 2 ( log 27 1)4
= + + − 3 152 2 ( 1)4 4
= + + − =
2 1( ) 2
x
xf x a
+= −
a
( )=3f x x
1a = 1x =
( )f x (0) 0f = 1a =
( ) 3f x = 2 1 32 1
x
x
+ =−
2 1( ) 2
x
xf x a
+= −
0
0
2 1 1 1(0) 02 1f a a
+ += = =− −
，
当 时，函数 ，则 ，
所以 ．
（2）由（1）可知函数 ，
因为 ，即 ，解得 ，所以 ．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数解析式的应用，其中解答中熟记函
数的奇偶性，熟练应用函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
基础题．
20.已知函数 f(x)为二次函数,且 f(x-1)+f(x)=2x2+4.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)当 x∈[t,t+2],t∈R 时,求函数 f(x)的最小值(用 t 表示).
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合待定系数法可得函数的解析式为 ；
(2)结合(1)中求得的函数的最小值 .
试题解析：
1a =
1a = 2 1( ) 2 1
x
xf x
+= −
1 12 1 2 12( ) ( )12 1 212
x xx
x x
x
f x f xa
−
−
++ +− = = = − = −− −−
1a =
2 1( ) 2 1
x
xf x
+= −
( ) 3f x = 2 1 32 1
x
x
+ =− 2 2x = 1x =
( ) 2 2f x x x= + +
2
min
2
12, 2
7 5 1( ) ,4 2 2
55 8, 2
t t t
f x t
t t t
+ + > −
= − ≤ ≤ −
+ + < −
( ) 2 2f x x x= + +
( )
2
2
12, 2
7 5 1,4 2 2
55 8, 2
min
t t t
f x t
t t t
+ + > −
= − ≤ ≤ −
+ + < −
(1)设 f(x)=ax2+bx+c,
b(x-1)+c+a +bx+c=2a +(2b-2a)x+a-b+2c=2 +4,
,
解得 ,∴f(x)=x2+x+2.
(2)∵f(x)=x2+x+2 对称轴为 x=- ;
当 t t+2，即 时, =f(- )=
当 t 时,f(x)=x2+x+2 在 x∈[t,t+2]上单调递增， =f(t)=t2+t+2,
当 t< 时,f(x)=x2+x+2 在 x∈[t,t+2]上单调递减， =f(t+2)= +5t+8,
综上:f(x)min=
21.已知定义在 上的函数 满足：① 对任意 ， ，有 .②
当 时， 且 .
（1）求证： ；
（2）判断函数 的奇偶性；
（3）解不等式
【答案】(1)证明见解析；(2) 是奇函数；(3) .
【解析】
试题分析：（1）赋值法，令 x=y=0 可证得 f（0）=0；（2）令 y=﹣x 代入式子化简，结合函
数奇偶性的定义，可得 f（x）是奇函数；（3）设 x1＜x2，由主条件构造 f（x1）﹣f（x2）=f
的
.
( )21a x∴ − + 2x 2x 2x
2 2
2 2 0
2 4
a
b a
a b c
=
∴ − =
− + =
1
1
2
a
b
c
=
=
=
1
2
1
2
≤ − ≤ 5 1
2 2t− ≤ ≤ − ( )minf x 1
2
7 ,4
1
2
> − ( )minf x
5
2
− ( )minf x 2t
2
2
12, 2
7 5 1,4 2 2
55 8, 2
t t t
t
t t t
+ + > −
− ≤ ≤ −
+ + < −
R ( )f x x y ∈R ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
0x < ( ) 0f x > (1) 3f = −
(0) 0f =
( )f x
(2 2) ( ) 12f x f x− − −≥
( )f x { | 6}x x ≤
（x1﹣x2）由 x＜0 时 f（x）＞0 可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉
“f”，从而可求出不等式的解集．
试题解析：
（1）证明：令 ， ，
∴ ，
（2）令 ，
∴
∴ .
∴函数 是奇函数.
（3）设 ，则 ，
∴
∴ 为 上减函数.
∵ ， .
∴ 即 .
∴不等式 解集为 .
22.已知函数 .
（1）求函数 的定义域并判断奇偶性；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由 ，求得 x 的范围，可得函数 y＝f（x）定义域，由函数 y＝f（x）的定义域
关于原点对称，且满足 f（﹣x）＝f（x），可得函数 y＝f（x）为偶函数；（2）化简函数 f
的
0x y= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f= +
( )0 0f =
y x= −
( ) ( ) ( )0 0f f x f x= − + =
( ) ( )f x f x= − −
( )f x
1 2x x< 1 2 0x x− <
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0f x f x f x f x f x x− = + − = − >
( )f x R
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 12f x f x f x f x f x− − = − + − = − ≥ − ( ) ( )12 4 1 4f f− = =
2 4x − ≤ 6x ≤
( ) ( )2 2 12f x f x− − ≥ − { | 6}x x ≤
( ) ln(3 ) ln(3 )f x x x= + + −
( )y f x=
(2 1) ( )f m f m− <
11 3m− < < 1 2m< <
3 0
3 0
x
x
+
−
＞
＞
（x）的解析式为 所，结合函数的单调性可得，不等式
等价于 ，由此求得 m 的范围．
【详解】（1）由 得 ,
所以 的定义域为 ，又因为 ，所以
偶函数.
（2）因为 所以 是[0，3）上的减函数,又
是偶函数.
故 解得 或 .
【点睛】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中
档题．
( ) ( )2ln 9f x x= − ( ) ( )2 1f m f m− <
3 2 1 3
3 3
2 1
m
m
m m
− < − <
− < <
− >
3 0
3 0
x
x
+ >
− > 3 3x− < <
( )f x ( )3,3− ( ) ( ) ( ) ( )ln 3 ln 3f x x x f x− = − + + = ( )f x
( ) ( ) ( ) ( )2ln 3 ln 3 ln 9f x x x x= + + − = − ( )f x
( )f x
3 2 1 3
3 3
2 1
m
m
m m
− < − <
− < <
− >
11 3m− < < 1 2m< <
