2018-2019学年云南省保山市保山第一中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年云南省保山市保山第一中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019 学年云南省保山市保山第一中学高二下学期期末 数学试题 一、单选题 1．1．设 ，则 z 的共轭复数为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析： 的共轭复数为 ，故选 D． 【考点】1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念． 2．2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A．144 B．120 C．72 D．24 【答案】D 【解析】试题分析：先排三个空位，形成 4 个间隔，然后插入 3 个同学，故有 种 【考点】排列、组合及简单计数问题 3．已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ， ， 所 以 ，当 时， 的最小值为 ， 故选 C. 【考点】向量的运算及模的概念. 4．已知正三棱锥 的外接球 的半径为 ，且满足 则正三 棱锥的体积为() A． B． C． D． 【答案】A 10 3 iz i = + 1 3i− + 1 3i− − 1 3i+ 1 3i− ( ) ( )( ) 10 310 1 3 ,3 3 3 i iiz i zi i i −= = = + ∴+ + − 1 3i− 3 4 24A = ( ) ( )1 ,2 1,0 , 2, ,a t t b t t= − − =  a b−  5 6 2 3 ( 1 , 1, )a b t t t− = − − − −  2 2 2 2( 1 ) ( 1) ( ) 3 2a b t t t t− = − − + − + − = +  0t = a b−  2 P ABC− O 1 0,OA OB OC+ + =    3 4 3 4 3 2 3 3 4 【解析】根据 判断出 为等边三角形 的中心，由此求得正三 棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积. 【详解】 由于三棱锥是正三棱锥，顶点 在底面的射影是底面中心.由 可知， 为等边三角形 的中心，由于正三棱锥 的外接球 的半径为 ，故由正 弦定理得 ，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥 的体积为 .所以本小题选 A. 【点睛】 本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题 的求解，属于中档题. 5．函数 ( ,则 ( ) A． B． C． D． 大小关 系不能确定 【答案】C 【解析】对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果. 【详解】 函数 ( ,对函数求导得到 当 x>1 时，导函数大于 0，函数单调 增，当 x<1 时，导函数小于 0，函数单调递减，因为 ，故得到 . 故答案为：C. 【点睛】 这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的 性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性。 6．若 X～B(n，p)，且 E(X)＝6，D(X)＝3，则 P(X＝1)的值为(　　) A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－8 【答案】C 【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝ ，n＝12，则 P(X＝1)＝ ·( )1·( )11＝ 3×2－10. 7．已知 10 件产品有 2 件是次品．为保证使 2 件次品全部检验出的概率超过 0.6，至少 应抽取作检验的产品件数为() 0OA OB OC+ + =    O ABC P 0OA OB OC+ + =    O ABC P ABC− O 1 π2 sin 33AB BC AC= = = × = ( )21 3 33 13 4 4 × × × = A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得 至少抽取的产品件数. 【详解】 设抽取 件，次品全部检出的概率为 ，化简得 ，代入选项 验证可知，当 时，符合题意，故选 C. 【点睛】 本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题. 8．若 ， ， ，则 的大小关系为() A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用微积分基本定理，计算出 的值，由此比较出三者大小关系. 【详解】 依题意， ，故 ，所以 选 B. 【点睛】 本小题主要考查微积分基本定理计算定积分，属于基础题. 9．平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为（） A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 【答案】C 【解析】1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；……，n 条直线最多可将 平面分成 1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋ ＝ 个区域，选 C. 10．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的 二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m＝ ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B； x 2 2 2 8 10 0.6 x x C C C − > ( )1 54x x − > 8x = 2 2 1 1 S x dx= ∫ 2 2 1 1S dxx = ∫ 2 3 1 xS e dx= ∫ 1 2 3, ,S S S 1 2 3S S S< < 2 1 3S S S< < 2 3 1S S S< < 3 2 1S S S< < 1 2 3, ,S S S 3 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 7| , ln | ln 2, |3 3 xxS S x S e e e  = = = = = = −   2 1 3S S S< < 【解析】 ， ，因为 ，解得 m=6. 【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力. 11．已知一系列样本点 … 的回归直线方程为 若样本点 与 的残差相同，则有() A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项. 【详解】 样本点 的残差为 ，样本点 的残差为 ，依题意 ，故 ，所以选 C. 【点睛】 本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题. 12．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【详解】 由题意知函数 y＝ ex 与 y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称，两曲线上 点之间的最小距离就是 y＝x 与 y＝ ex 上点的最小距离的 2 倍．设 y＝ ex 上点(x0，y0) 处的切线与直线 y＝x 平行．则 ，∴x0＝ln 2，y0＝1， ∴点(x0，y0)到 y＝x 的距离为 ＝ (1－ln 2)， 则|PQ|的最小值为 (1－ln 2)×2＝ (1－ln 2)． 二、填空题 13．已知复数 z＝ (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 【答案】 2 m ma C= 2 1 m mb C += 2 2 113 7m m m mC C += ( , )i ix y ( 1,2,3,i = , )n ˆ 2 ,y x a= + ( ,1)r (1, )s r s= 2s r= 2 3s r= − + 2 1s r= + ( ,1)r 2 1r a+ − (1, )s 2 a s+ − 2 1 2r a a s+ − = + − 2 3s r= − + P 1 2 xy e= Q ln(2 )y x= PQ 1 ln 2− 2(1 ln 2)− 1 ln 2+ 2(1 ln 2)+ 1 2 1 2 1 2 01 =12 xe ln 2 1 2 − 2 2 2 2 2 【解析】试题分析：因为 ，所以 所以 本题也可利用 复数模的性质进行求解，即 【考点】复数的模 14．直线 与圆 相交的弦长为__________． 【答案】 【解析】将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法． 【详解】 将直线 化为普通方程为： ，∵ ，∴ ，化为 普通方程为： ，即 ，联立得 ，解得 ，∴直线与圆相交的弦长为 ，故答案为 ． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 15． 的展开式中 的系数为 . 【答案】70. 【解析】试题分析：设 的展开式中含 的项为第 项，则由通项知 ．令 ，解得 ， ∴ 的展开式中 的系数为 ． 【考点】二项式定理． 16．已知 .经计算 ， ， ， ，则根据以上式子得到第 个式子为______. 【答案】 2 cos 1ρ θ = 2cosρ θ= 3 2 cos 1ρ θ = 2 1x = 2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ= 2 2 2x y x+ = ( )2 21 1x y− + = ( )2 2 2 1 1 1 x x y = − + = 1 2 3 2 x y  =  = ± 3 3- 32 2 − = 3 8 x y y x   −    2 2x y 8 x y y x   −    2 2x y 1r + ( ) 81 1 882 2 2 2 1 8 81 r r r rr rrr r rT C xy x y C x y − −− − − + − − + +    = − = −        8 22 r r− + − = 4r = 8 x y y x   −    2 2x y ( )4 4 81 70C− = 1 1 1( ) 1 2 3f n n = + + + + (4) 2f > 5(8) 2f > (16) 3f > 7(32) 2f > n ( ) ( )1 *32 2 n nf n N+ +> ∈ 【解析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到 答案. 【详解】 观察已知中等式： ， ， ， ，…， 则 ， 故答案为： . 【点睛】 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题. 三、解答题 17．已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程 是 （ 是参数），设点 ． (Ⅰ)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值． 【答案】（Ⅰ）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为： ，直线 的参数方程化为普通方程为： （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）利用两角和的余弦公式化简曲线 的极坐标方程，然后两边乘以 转化 为直角坐标方程.利用加减消元法消掉参数 ，求得直线 的普通方程.(Ⅱ)写出直线 标准 的参数方程，代入曲线 的直角坐标方程，化简后根据直线参数方程的几何意义，求得 的值. 【详解】 解：(Ⅰ)曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为： ，即 ( ) ( )2 1 34 2 2 2f f += > = ( ) ( )3 5 2 38 2 2 2f f += > = ( ) ( )4 3 316 2 3 2f f += > = ( ) ( )5 7 4 332 2 2 2f f += > = ( ) ( )1 *32 2 n nf n N+ +> ∈ ( ) ( )1 *32 2 n nf n N+ +> ∈ C 2 ( )3cos πρ θ= + x l 1 , 2 3 x t y t = − − = + t ( 1,2)P − C l l C ,M N PM PN⋅ C 2 2 3x y x y+ = − l 3 3 2 0x y+ + − = 6 2 3+ C ρ t l l C PM PN⋅ C 2 2 3x y x y+ = − ； 直线 的参数方程化为普通方程为： ． (Ⅱ)直线 的参数方程化为标准形式为 ，① 将①式代入 ，得： ，② 由题意得方程②有两个不同的根，设 是方程②的两个根，由直线参数方程的几 何意义知： ． 【点睛】 本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查参数方程转化为普通方程，考查 直线标准参数方程的求法，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题. 18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随 机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有 60 人的班级进行问卷调查，得到如下的 列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 18 女生 6 合计 60 已知从该班随机抽取 1 人为喜欢的概率是 ． (Ⅰ)请完成上面的 列联表； (Ⅱ)根据列联表的数据，若按 90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有 关”？请说明理由． 参考临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 21 3( ) ( ) 12 2x y− + + = l 3 3 2 0x y+ + − = l 11 ,2 ( ) 32 2 x m m y m  = − −  = + 是参数 2 2 3x y x y+ = − 2 (2 3 3) 6 2 3 0m m+ + + + = 1 2,m m 1 2PM PN m m⋅ = ⋅ = 6 2 3+ 2 2× 1 3 2 2× 2 0( )P K k≥ 0k 参考公式： 其中 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关” 【解析】（I）根据“从该班随机抽取 1 人为喜欢的概率是 ”，求得喜欢为 人，由此 填写出表格缺少的数据.（II）计算 ，由此可以判断出有 90%的可靠 性认为“喜欢与否和学生性别有关”． 【详解】 解：(Ⅰ)列联表如下； 喜欢 不喜欢 合计 男生 14 18 32 女生 6 22 28 合计 20 40 60 (Ⅱ)根据列联表数据，得到 所以有 90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”． 【点睛】 本小题主要考查补全 联表，考查 列联表独立性检验，考查运算求解能力，属 于基础题. 19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出 1 点，甲盒中放一球；若掷出 2 点或 3 点，乙盒中放一球；若掷出 4 点或 5 点或 6 点，丙盒中放一球，前后共掷 3 次，设 分别表示甲，乙，丙 3 个盒中的球数． (Ⅰ)求 的概率； (Ⅱ)记 求随机变量 的概率分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【解析】求得球放入甲,乙,丙盒的概率.（I）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 1 3 20 2 3.348 2.706K ≈ > 2 2 60(14 22 6 18) 3.348 2.706,32 28 20 40K × − ×= ≈ >× × × 2 2× 2 2× 1 2 3, ,a a a 1 2 32, 1, 0a a a= = = 1 2 ,a aξ = + ξ 1 36 求的概率.（II）先求得 可能的取值是 0，1，2，3，然后根据相互独立事件概率计算公 式，计算出分布列，并求得数学期望. 【详解】 解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为 ． (Ⅰ)由题意知，满足条件的情况为两次掷出 1 点，一次掷出 2 点或 3 点， ． (Ⅱ)由题意知， 可能的取值是 0，1，2，3． ． 故 的分布列为： 0 1 2 3 期望 ． 【点睛】 本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查分布列的计算和求数学期望，属于中档题. 20．已知数列 满足 其中 . ξ 1 1 1, ,6 3 2 2 2 1 2 3 3 1 1 1( 2, 1, 0) ( ) ( )6 3 36P P a a a C= = = = = = ξ 1 2 3 1( 0) ( 0, 0, 3) ,8P P a a aξ = = = = = = 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1 1 3( 1) ( 0, 1, 2) ( 1, 0, 2) ( )( ) ( )( )3 2 6 2 8P P a a a P a a a C Cξ = = = = = + = = = = + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2) ( 2, 0, 1) ( 1, 1, 1) ( 0, 2, 1)P P a a a P a a a P a a aξ = = = = = + = = = + = = = 1 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )6 2 6 3 2 3 2 8C A C= + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 3) ( 0, 3, 0) ( 1, 2, 0) ( 2, 1, 0)P P a a a P a a a P a a aξ = = = = = + = = = + = = = + 1 2 3 1( 3, 0, 0) 8P a a a= = = = ξ ξ P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 3 3 1 3( ) 0 1 2 38 8 8 8 2E ξ = × + × + × + × = { }nx 1 1 1 1, ,2 1n n x x x+= = + n ∗∈N （Ⅰ）写出数列 的前 6 项； （Ⅱ）猜想数列 的单调性，并证明你的结论. 【答案】（Ⅰ） ， ， ， ， ， （Ⅱ）猜想： 数列 是递减数列，证明见解析 【解析】（I）根据递推公式，依次求得 的值.（II）由（I）猜想数列 是递减数列.用数学归纳法证得结论成立. 【详解】 解：（Ⅰ）由 ； 由 ； 由 ； 由 ； 由 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 猜想：数列 是递减数列. 下面用数学归纳法证明： ①当 时，已证命题成立； ②假设当 时命题成立，即 . 易知 ，当 时， { }nx 2{ }nx 1 1 2x = 2 2 3x = 3 3 5x = 4 5 8x = 5 8 13x = 6 13 21x = 2{ }nx 2 3 4 5 6, , , ,x x x x x 2{ }nx 1 2 1 1 1 2,2 1 3x x x = = =+得 2 3 2 2 1 3,3 1 5x x x = = =+得 3 4 3 3 1 5,5 1 8x x x = = =+得 4 5 4 5 1 8,8 1 13x x x = = =+得 5 6 5 8 1 13,13 1 21x x x = = =+得 2 4 6 ,x x x> > 2{ }nx 1n = n k= 2 2 2k kx x +> 2 0kx > 1n k= + 2 2 2 4k kx x+ +− 2 1 2 3 1 1 1 1k kx x+ + = −+ + 2 3 2 1 2 1 2 3(1 )(1 ) k k k k x x x x + + + + −= + + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 0(1 )(1 )(1 )(1 ) k k k k k k x x x x x x + + + + −= >+ + + + 即 . 也就是说，当 时命题也成立. 根据①②可知，猜想对任何正整数 都成立. 【点睛】 本小题主要考查根据递推公式求数列各项的值，考查数学归纳法证明数列的单调性，属 于中档题. 21．如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 底面 点 是 的中点． (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)若 且 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】（I）根据已知条件得到 ， ，由此证得 平面 .从 而证得 ,结合 ，证得 平面 ，进而证得 .（II） 作出 与平面 所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角 的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值. 【详解】 （Ⅰ）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又由 是梯形， ， ，知 ， 而 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以 ． 又 ，点 是 的中点，所以 ． 因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以 ． （Ⅱ）解：如图所示，过 作 于 ，连接 ， 2( 1) 2( 1) 2k kx x+ + +> 1n k= + n P ABCD− ABCD / /AD BC ,AD BC> 090BAD∠ = PA ⊥ , ,ABCD PA AB= E PB PC AE⊥ 1, 3,AB AD= = PA PCD 045 A PD C− − 6 3 BC PA⊥ BC AB⊥ BC ⊥ PAB AE BC⊥ AE PB⊥ AE ⊥ PBC AE PC⊥ PA PCD A PD C− − PA ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD BC PA⊥ ABCD AD BC∥ 90BAD∠ = ° BC AB⊥ AB AP A= AB Ì PAB AP ⊂ PAB BC ⊥ PAB AE ⊂ PAB AE BC⊥ PA AB= E PB AE PB⊥ PB BC B∩ = PB ⊂ PBC BC ⊂ PBC AE ⊥ PBC PC ⊂ PBC AE PC⊥ A AF CD⊥ F PF 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 则 平面 ，于是平面 平面 ，它们的交线是 ． 过 作 于 ，则 平面 ， 即 在平面 上的射影是 ， 所以 与平面 所成的角是 ．由题意， ． 在直角三角形 中， ，于是 ． 在直角三角形 中， ，所以 ． 过 作 于 ，连接 ， 由三垂线定理，得 ，所以 为二面角 的平面角， 在直角三角形 中， ， ． 在直角三角形 中， ， 所以二面角 的正弦值为 ． 【点睛】 本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面 角的求法，属于中档题. 22．已知函数 . （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 上是减函数，求实数 a 的最小值； （Ⅲ）若 ，使 （ ）成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 单调减区间是 ,增区间是 ;(2) ; (3) ． PA ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD CD PA⊥ CD ⊥ PAF PAF ⊥ PCD PF A AG PF⊥ G AG ⊥ PCD PA PCD PG PA PCD APF∠ 45APF∠ = ° APF 1PA AF= = 2 2AG PG FG= = = ADF 3AD = 2DF = G GH PD⊥ H AH AH PD⊥ AHG∠ A PD C− − APD 2 2 2PD PA AD= + = 1 3 3 2 2 PA ADAH PD ⋅ ×= = = AGH 2 62sin 33 2 AGAHG AH ∠ = = = A PD C− − 6 3 【解析】试题分析：(1) 根据原函数在区间上的单调递减转化为导数在该区间内小于等 于零恒成立，再把恒成立转化为最值求解，在求解的过程中利用了二次三项式的配方； (2)命题的等价变换是解决本小题的关键，“若 使 成立”等价 于 “当 时，有 ”，于是整个问题就化为求函数的最值，然后 利用导数分析单调性，进而求最值。 试题解析：由已知函数 的定义域均为 ,且 . (1)函数 , 2 分 因 f(x)在 上为减函数，故 在 上恒成立． 所以当 时， ． 又 ， 故当 ，即 时， ． 所以 于是 ，故 a 的最小值为 ． 6 分 (2)命题“若 使 成立”等价于 “当 时，有 ”． 由（Ⅱ），当 时， ， ． 问题等价于：“当 时，有 ”． 8 分 当 时，由（Ⅱ）， 在 上为减函数， 则 = ，故 ． 10 分 当 时，由于 在 上为增函数， 故 的值域为 ，即 ． 由 的单调性和值域知， 唯一 ，使 ，且满足： 当 时， ， 为减函数； 当 时， ， 为增函数； 所以， = ， ． 所以， ，与 矛盾，不合题意． 11 分 综上，得 ． 12 分 【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变 换.